多边形三角剖分的最低得分问题（边权重和版本） 题目描述： 给定一个凸多边形，其顶点按顺时针顺序编号为0到n-1。将多边形三角剖分（用不相交的对角线将多边形分成n-2个三角形），每个三角形的得分是该三角形三条边的权重之和。求所有三角剖分中，总得分的最小值。 解题过程： 问题分析： 凸多边形的三角剖分可以通过选择不相交的对角线将多边形分割成三角形 我们需要计算所有可能的三角剖分，并找到总边权和最小的那个 这是一个经典的区间DP问题，因为三角剖分可以分解为子多边形的三角剖分 DP状态定义： 定义dp[ i][ j ]表示从顶点i到顶点j（按顺时针顺序）形成的子多边形进行三角剖分的最小得分 i和j是多边形的顶点索引（0 ≤ i < j ≤ n-1） 子多边形包含顶点i, i+1, i+2, ..., j 状态转移方程： 对于子多边形i-j，我们考虑以边(i,j)为基边，选择第三个顶点k（i < k < j）形成三角形(i,k,j) 这个三角形将原多边形分成三部分： 三角形(i,k,j)本身 子多边形i-k（顶点i, i+1, ..., k） 子多边形k-j（顶点k, k+1, ..., j） 状态转移方程： dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k][ j ] + weight(i,k) + weight(k,j) + weight(i,j)) 其中k从i+1遍历到j-1 边界条件： 当j = i+1时，只有一条边，无法形成三角形，dp[ i][ j ] = 0 当j = i+2时，形成一个三角形，dp[ i][ j ] = weight(i,i+1) + weight(i+1,i+2) + weight(i,i+2) 计算顺序： 按子区间的长度从小到大计算 先计算所有长度为2的区间，然后长度为3，依此类推，直到长度为n 算法实现步骤： 初始化n×n的dp数组，所有值设为无穷大 设置边界条件：对角线和对角线+1的位置设为0 按区间长度l从2到n-1遍历 对于每个起始点i，计算j = i + l 遍历所有可能的中间点k（i < k < j） 更新dp[ i][ j ]为最小值 最终结果： dp[ 0][ n-1 ]就是整个凸多边形三角剖分的最小得分 这个问题的关键在于理解三角剖分的递归结构，以及如何通过选择中间顶点将问题分解为更小的子问题。