奇怪的打印机的最小打印次数问题 题目描述 有一台奇怪的打印机，它有两个特殊操作： 每次打印时，可以选择从任意位置开始到任意位置结束，将这个范围内的所有字符都打印成同一个字符 打印机每次只能打印同一个字符，但可以在任意位置开始和结束 给定一个字符串s，你的任务是找出打印机打印出这个字符串所需的最少打印次数。 例如： 输入："aaabbb" 输出：2 解释：先打印整个字符串为'a'（一次），然后打印后三个字符为'b'（两次） 解题思路 这个问题可以使用区间动态规划来解决。关键思路是： 如果字符串首尾字符相同，那么可以在打印首字符的时候顺便打印尾字符 如果字符串被分成多个部分，需要考虑不同分割点的情况 详细解题步骤 步骤1：定义状态 定义dp[ i][ j ]表示打印字符串s从位置i到位置j（包含两端）的子串所需的最少打印次数。 步骤2：状态初始化 对于长度为1的子串（i = j），dp[ i][ j ] = 1，因为只需要一次打印 对于空串（i > j），dp[ i][ j ] = 0 步骤3：状态转移方程 考虑区间[ i, j ]的最少打印次数： 情况1：如果s[ i] == s[ j] 当首尾字符相同时，我们可以在打印s[ i]的时候顺便打印s[ j ] 因此，dp[ i][ j] = dp[ i][ j-1 ] 解释：打印s[ i]到s[ j-1]时，s[ j ]可以被"顺便"打印 情况2：如果s[ i] ≠ s[ j] 当首尾字符不同时，我们需要考虑所有可能的分割点 dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k+1][ j ])，其中k从i遍历到j-1 解释：将区间分成两部分，分别打印，取所有分割方式中的最小值 步骤4：计算顺序 按照区间长度从小到大计算 先计算所有长度为1的区间，然后长度2，3，...，直到整个字符串 步骤5：示例演示 以字符串"ababa"为例： 初始化： dp[ 0][ 0] = 1, dp[ 1][ 1] = 1, dp[ 2][ 2] = 1, dp[ 3][ 3] = 1, dp[ 4][ 4 ] = 1 长度2： [ 0,1]: s[ 0]='a' ≠ s[ 1]='b'，dp[ 0][ 1] = min(dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 1 ]) = 1+1 = 2 [ 1,2]: 'b' ≠ 'a'，dp[ 1][ 2 ] = 2 [ 2,3]: 'a' ≠ 'b'，dp[ 2][ 3 ] = 2 [ 3,4]: 'b' ≠ 'a'，dp[ 3][ 4 ] = 2 长度3： [ 0,2]: s[ 0]='a' ≠ s[ 2 ]='a'，但首尾相同 dp[ 0][ 2] = dp[ 0][ 1 ] = 2（因为可以在打印第一个'a'时顺便打印第三个'a'） [ 1,3 ]: 'b' ≠ 'b'，首尾相同 dp[ 1][ 3] = dp[ 1][ 2 ] = 2 [ 2,4 ]: 'a' ≠ 'a'，首尾相同 dp[ 2][ 4] = dp[ 2][ 3 ] = 2 长度4： [ 0,3 ]: 'a' ≠ 'b'，首尾不同 分割点k=0: dp[ 0][ 0]+dp[ 1][ 3 ] = 1+2 = 3 分割点k=1: dp[ 0][ 1]+dp[ 2][ 3 ] = 2+2 = 4 分割点k=2: dp[ 0][ 2]+dp[ 3][ 3 ] = 2+1 = 3 dp[ 0][ 3 ] = min(3,4,3) = 3 [ 1,4 ]: 'b' ≠ 'a'，首尾不同 类似计算得dp[ 1][ 4 ] = 3 长度5（整个字符串）： [ 0,4]: s[ 0]='a' = s[ 4 ]='a'，首尾相同 dp[ 0][ 4] = dp[ 0][ 3 ] = 3 最终结果： dp[ 0][ 4 ] = 3 验证： 最少需要3次打印： 打印整个字符串为'a' 打印位置1-2为'b' 打印位置3为'b' 算法复杂度 时间复杂度：O(n³)，需要三层循环 空间复杂度：O(n²)，用于存储dp数组 这个算法通过区间动态规划有效地解决了奇怪的打印机问题，确保了最优解的求解。