深度学习中优化器的SGD with Polyak Averaging算法原理与实现细节

题目描述
Polyak Averaging是一种优化技术，通常与随机梯度下降（SGD）结合使用，通过在训练过程中对参数的历史值进行平均来提升模型最终性能。本题目将详细讲解SGD with Polyak Averaging的核心思想、数学原理、实现步骤及其在深度学习中的优势。

解题过程

1. 基本概念与动机

• 问题背景：SGD在非凸优化（如深度学习）中容易在最优解附近震荡，导致最终参数并非最优。
• Polyak Averaging思想：对训练过程中所有参数值进行简单平均，利用历史信息平滑震荡，得到更接近理论最优解的参数。
• 直观理解：假设参数在最优解附近波动，算术平均可能比最后一个迭代点更接近中心。

2. 数学原理与算法步骤

• 标准SGD更新规则：

\[ \theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla f(\theta_t) \]

其中 \(\theta_t\) 是第t步参数，\(\eta\) 是学习率，\(\nabla f(\theta_t)\) 是梯度。

• Polyak Averaging的参数计算：
  最终输出参数 \(\hat{\theta}_T\) 为所有历史参数的算术平均：

\[ \hat{\theta}_T = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \theta_t \]

其中 \(T\) 是总迭代次数。

• 理论依据：对于凸问题，Polyak Averaging可证明以 \(O(1/T)\) 的速率收敛，优于标准SGD的 \(O(1/\sqrt{T})\)。

3. 深度学习中的改进实现

• 内存优化：直接存储所有 \(\theta_t\) 不现实，采用递推式平均：

\[ \hat{\theta}_t = \frac{t-1}{t} \hat{\theta}_{t-1} + \frac{1}{t} \theta_t \]

初始值 \(\hat{\theta}_1 = \theta_1\)，仅需保存当前平均参数和迭代次数。

• 延迟启动策略：初期参数远离最优解，平均可能引入噪声。常见改进是忽略前 \(t_0\) 个迭代：

\[ \hat{\theta}_T = \frac{1}{T-t_0} \sum_{t=t_0+1}^T \theta_t \]

通常设 \(t_0 = T/2\) 或基于验证集选择。

4. 实际应用细节

• 与学习率计划配合：当使用学习率衰减时，Polyak Averaging尤其有效，因衰减后期参数更稳定。
• 权重衰减处理：若优化目标包含L2正则化，需确保平均操作与正则化项一致。
• 测试阶段使用：训练完成后，直接用 \(\hat{\theta}_T\) 作为模型参数进行推理，无需修改网络结构。

5. 代码实现示例（PyTorch风格）

class SGDWithPolyakAveraging:
    def __init__(self, params, lr=0.01, start_avg=0):
        self.params = list(params)
        self.lr = lr
        self.start_avg = start_avg  # 开始平均的迭代步数
        self.t = 0  # 迭代计数器
        self.avg_params = None  # 平均参数

    def step(self):
        self.t += 1
        # 标准SGD更新
        for p in self.params:
            if p.grad is None:
                continue
            p.data -= self.lr * p.grad.data

        # 更新Polyak平均
        if self.t >= self.start_avg:
            if self.avg_params is None:
                # 初始化平均参数为当前参数副本
                self.avg_params = [p.data.clone() for p in self.params]
            else:
                # 递推平均: avg = ( (t-1)*avg + current ) / t
                for i, p in enumerate(self.params):
                    self.avg_params[i].data = (
                        (self.t - 1) * self.avg_params[i].data + p.data
                    ) / self.t

    def get_averaged_params(self):
        # 返回平均后的参数（用于测试）
        return self.avg_params if self.avg_params is not None else self.params

6. 优势与局限性

• 优点：
  • 提升泛化性能，减少过拟合
  • 对凸问题有理论收敛保证
  • 实现简单，计算开销小
• 局限：
  • 非凸问题中可能收敛到平坦区域而非尖锐极小值
  • 需要额外内存存储平均参数（但可优化）