高斯-勒让德求积公式在有限元刚度矩阵计算中的应用 题目描述 在有限元方法中，计算刚度矩阵的元素需要求解形如 \( K_ {ij} = \int_ {\Omega} \nabla \phi_ i \cdot \nabla \phi_ j d\Omega \) 的积分，其中 \( \phi_ i, \phi_ j \) 是定义在单元上的形函数。由于形函数通常是多项式，但积分区域可能复杂，高斯-勒让德求积公式被广泛用于数值计算这些积分。本题要求详细讲解如何将高斯-勒让德求积公式应用于有限元刚度矩阵的计算，包括坐标变换、节点与权重的选择，以及误差控制。 解题过程 问题分析 在有限元法中，刚度矩阵元素是积分形式，被积函数是形函数的梯度点积。 形函数在局部坐标（如参考单元）下是多项式，但全局积分区域可能不规则。 高斯-勒让德求积公式适用于计算有限区间上的积分，并能达到高精度，但需将积分变换到参考单元 \([ -1, 1 ]\) 上。 坐标变换到参考单元 将物理单元映射到参考单元（如1D的 \([ -1, 1]\)，2D的 \([ -1, 1] \times [ -1, 1 ]\)）。 使用等参变换：物理坐标 \( \mathbf{x} \) 与局部坐标 \( \xi \) 的关系为 \( \mathbf{x} = \sum_ k \mathbf{x}_ k \phi_ k(\xi) \)，其中 \( \mathbf{x}_ k \) 是节点坐标。 积分变换：\( \int_ {\Omega} f(\mathbf{x}) d\Omega = \int_ {-1}^{1} f(\mathbf{x}(\xi)) |J(\xi)| d\xi \)，其中 \( |J| \) 是雅可比行列式，表示面积/体积缩放。 应用高斯-勒让德求积公式 选择点数 \( n \)：根据被积函数的多项式次数决定。若形函数次数为 \( p \)，则 \( \nabla \phi_ i \cdot \nabla \phi_ j \) 的次数最高为 \( 2(p-1) \)。高斯-勒让德公式使用 \( n \) 点可精确积分次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式，因此 \( n \geq p \) 可保证精确积分。 获取节点 \( \xi_ k \) 和权重 \( w_ k \)：从预计算表中查找区间 \([ -1, 1 ]\) 上的高斯-勒让德节点和权重。 数值积分公式：\( \int_ {-1}^{1} g(\xi) d\xi \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k g(\xi_ k) \)，其中 \( g(\xi) = \nabla \phi_ i \cdot \nabla \phi_ j |J(\xi)| \)。 计算步骤示例（以1D问题为例） 设单元形函数为线性：\( \phi_ 1(\xi) = (1-\xi)/2 \), \( \phi_ 2(\xi) = (1+\xi)/2 \)，物理节点坐标 \( x_ 1, x_ 2 \)。 雅可比行列式 \( J = dx/d\xi = (x_ 2 - x_ 1)/2 \)。 刚度矩阵元素 \( K_ {ij} = \int_ {-1}^{1} \frac{d\phi_ i}{dx} \frac{d\phi_ j}{dx} |J| d\xi \)。注意 \( d\phi_ i/dx = (d\phi_ i/d\xi) / J \)。 选择 \( n=2 \) 点高斯积分（可精确积分3次多项式）：节点 \( \xi_ 1 = -1/\sqrt{3} \), \( \xi_ 2 = 1/\sqrt{3} \)，权重 \( w_ 1 = w_ 2 = 1 \)。 计算 \( g(\xi) = \frac{d\phi_ i}{d\xi} \frac{d\phi_ j}{d\xi} \frac{1}{|J|} \) 在节点处的值，求和得 \( K_ {ij} \approx \sum_ {k=1}^{2} w_ k g(\xi_ k) \)。 误差与优化 误差来源：高斯公式的截断误差（若被积函数非多项式），或舍入误差。 优化：增加点数 \( n \) 可提高精度，但需平衡计算成本。在有限元中，常选择最小 \( n \) 保证形函数积分的精确性。 通过以上步骤，高斯-勒让德求积公式能高效、精确地计算有限元刚度矩阵，支撑整个有限元分析的数值稳定性。