列生成算法在三维装箱问题中的应用示例
字数 1254 2025-11-03 18:00:43

列生成算法在三维装箱问题中的应用示例

题目描述
三维装箱问题要求将一系列长方体形状的物品装入有限数量的三维箱子中，目标是使用的箱子数量最少。每个箱子有相同的尺寸（长L、宽W、高H），每个物品i有尺寸（li, wi, hi）和数量需求di。物品可以旋转（但需保持边长对齐箱子坐标轴），且不能重叠。该问题属于NP难问题，列生成算法通过将其分解为主问题（选择装箱模式）和子问题（生成新装箱模式）来求解线性松弛版本，为精确算法提供下界。

解题步骤

  1. 问题建模
    • 定义"装箱模式"为一个箱子里物品的可行排列组合。设所有可能模式集合为P，每个模式j对应一个向量a_j = (a1j, a2j, ..., anj)，其中aij表示模式j中物品i的数量。
    • 主问题为选择模式使总箱子数最少：

\[ \min \sum_{j \in P} x_j \quad \text{s.t.} \quad \sum_{j \in P} a_{ij} x_j \geq d_i \ (\forall i), \quad x_j \geq 0 \]

 其中x_j表示模式j的使用次数。

  1. 列生成框架

    • 由于模式数量巨大，先求解仅包含部分模式的限制主问题（RMP）。
    • 子问题（定价问题）通过计算检验数生成新模式：若存在模式使检验数σ_j = 1 - ∑π_i a_ij < 0（其中π_i是RMP对偶变量），则将其加入RMP。

  2. 定价子问题求解

    • 子问题实为单箱子内物品装载优化：

\[ \max \sum_i \pi_i y_i \quad \text{s.t.} \quad \text{物品组合}y=(y_1,...,y_n)\text{在箱子中可行} \]

 - 可行性约束需处理三维几何约束（如通过占位编码或分层规划）。  
 - 常用方法：将箱子划分为网格，用二进制变量表示物品位置和旋转，建立整数规划模型。  
 - 启发式策略（如贪心布局）可加速求解，但需保证生成可行解。

  1. 算法流程

    • 步骤1：初始化RMP（如用简单模式：每个箱子仅放一种物品）。
    • 步骤2：求解RMP，获得对偶变量π_i。
    • 步骤3：求解子问题，若找到σ_j < 0的模式，加入RMP并返回步骤2；否则停止，得到线性松弛最优解。
    • 步骤4：将解舍入为整数（如用分支定界），得到实际装箱方案。

  2. 关键技巧

    • 几何约束处理：使用"最大空格"概念或三维版左下角填充策略简化布局。
    • 加速策略：动态规划预处理子问题、记忆化搜索重复模式。
    • 整数化：结合分支定价算法（branch-and-price）确保最优性。

实例说明
假设箱子尺寸10×10×10，3种物品：

  • 物品1：4×4×4，需求2个
  • 物品2：3×3×6，需求3个
  • 物品3：5×5×2，需求2个
    初始模式可设为单物品模式（如模式1：放2个物品1）。子问题通过计算π_i权重，尝试组合物品（如物品2和物品3可并排放置），生成节省箱子的新模式。最终线性松弛解可能显示需2.5个箱子，通过整数化得到实际解（如3个箱子）。
列生成算法在三维装箱问题中的应用示例 题目描述 三维装箱问题要求将一系列长方体形状的物品装入有限数量的三维箱子中，目标是使用的箱子数量最少。每个箱子有相同的尺寸（长L、宽W、高H），每个物品i有尺寸（li, wi, hi）和数量需求di。物品可以旋转（但需保持边长对齐箱子坐标轴），且不能重叠。该问题属于NP难问题，列生成算法通过将其分解为主问题（选择装箱模式）和子问题（生成新装箱模式）来求解线性松弛版本，为精确算法提供下界。 解题步骤 问题建模 定义"装箱模式"为一个箱子里物品的可行排列组合。设所有可能模式集合为P，每个模式j对应一个向量a_ j = (a1j, a2j, ..., anj)，其中aij表示模式j中物品i的数量。 主问题为选择模式使总箱子数最少： \[ \min \sum_ {j \in P} x_ j \quad \text{s.t.} \quad \sum_ {j \in P} a_ {ij} x_ j \geq d_ i \ (\forall i), \quad x_ j \geq 0 \] 其中x_ j表示模式j的使用次数。 列生成框架 由于模式数量巨大，先求解仅包含部分模式的限制主问题（RMP）。 子问题（定价问题）通过计算检验数生成新模式：若存在模式使检验数σ_ j = 1 - ∑π_ i a_ ij < 0（其中π_ i是RMP对偶变量），则将其加入RMP。 定价子问题求解 子问题实为单箱子内物品装载优化： \[ \max \sum_ i \pi_ i y_ i \quad \text{s.t.} \quad \text{物品组合}y=(y_ 1,...,y_ n)\text{在箱子中可行} \] 可行性约束需处理三维几何约束（如通过占位编码或分层规划）。 常用方法：将箱子划分为网格，用二进制变量表示物品位置和旋转，建立整数规划模型。 启发式策略（如贪心布局）可加速求解，但需保证生成可行解。 算法流程 步骤1：初始化RMP（如用简单模式：每个箱子仅放一种物品）。 步骤2：求解RMP，获得对偶变量π_ i。 步骤3：求解子问题，若找到σ_ j < 0的模式，加入RMP并返回步骤2；否则停止，得到线性松弛最优解。 步骤4：将解舍入为整数（如用分支定界），得到实际装箱方案。 关键技巧 几何约束处理：使用"最大空格"概念或三维版左下角填充策略简化布局。 加速策略：动态规划预处理子问题、记忆化搜索重复模式。 整数化：结合分支定价算法（branch-and-price）确保最优性。 实例说明 假设箱子尺寸10×10×10，3种物品： 物品1：4×4×4，需求2个 物品2：3×3×6，需求3个 物品3：5×5×2，需求2个 初始模式可设为单物品模式（如模式1：放2个物品1）。子问题通过计算π_ i权重，尝试组合物品（如物品2和物品3可并排放置），生成节省箱子的新模式。最终线性松弛解可能显示需2.5个箱子，通过整数化得到实际解（如3个箱子）。