基于潜在语义索引（LSI）的文本语义分析算法
字数 1325 2025-11-03 18:00:43

基于潜在语义索引（LSI）的文本语义分析算法

题目描述：潜在语义索引（LSI）是一种用于从文本数据中挖掘潜在语义结构的算法。它通过奇异值分解（SVD）对词-文档矩阵进行降维，将高维稀疏的词向量和文档向量映射到低维的"语义空间"，从而解决一词多义、同义词等问题，提升文本检索和相似度计算的准确性。

解题过程：

  1. 构建词-文档矩阵（Term-Document Matrix）
    • 首先，将文本语料库转换为数学表示。假设有 \(m\) 个词和 \(n\) 篇文档，构建一个 \(m \times n\) 矩阵 \(X\)。
    • 矩阵元素 \(X_{ij}\) 表示词 \(i\) 在文档 \(j\) 中的权重。常用TF-IDF（词频-逆文档频率）作为权重，公式为：

\[ \text{TF-IDF} = \text{词频（TF）} \times \log\left(\frac{\text{文档总数}}{1 + \text{包含该词的文档数}}\right) \]

 TF-IDF能突出重要词并抑制常见词。
  1. 对矩阵进行奇异值分解（SVD）
    • 对矩阵 \(X\) 进行SVD分解：

\[ X = U \Sigma V^T \]

 其中：  
 - $ U $ 是 $ m \times m $ 的正交矩阵，列向量为词空间的奇异向量；  
 - $ \Sigma $ 是 $ m \times n $ 的对角矩阵，对角线元素为奇异值（按降序排列）；  
 - $ V^T $ 是 $ n \times n $ 的正交矩阵，行向量为文档空间的奇异向量。
  • SVD将原始矩阵分解为词、语义权重和文档的关联。
  1. 降维选取前 \(k\) 个主要成分
    • 保留前 \(k\) 个最大的奇异值（通常 \(k \ll m, n\)），截取 \(U_k\)（前 \(k\) 列）、\(\Sigma_k\)（前 \(k \times k\) 子矩阵）、\(V_k^T\)（前 \(k\) 行）。
    • 降维后的近似矩阵为：

\[ X_k = U_k \Sigma_k V_k^T \]

 这一步去除了噪声和次要变异，保留了核心语义结构。

  1. 映射到潜在语义空间

    • 词向量：将词 \(i\) 映射为 \(U_k \Sigma_k\) 的第 \(i\) 行，得到 \(k\) 维语义向量。
    • 文档向量：将文档 \(j\) 映射为 \(\Sigma_k V_k^T\) 的第 \(j\) 列，得到 \(k\) 维语义向量。
    • 此时，语义相近的词或文档在低维空间中距离更近。例如，"汽车"和"车辆"的向量会趋于相似。

  2. 应用：语义相似度计算与检索

    • 计算文档相似度：通过余弦相似度比较文档向量的夹角。
    • 查询处理：将查询语句视为虚拟文档，映射到语义空间后与文档向量比较。
    • 解决一词多义：例如"苹果"（公司 vs. 水果）在不同上下文中会映射到语义空间的不同方向。

关键点：

  • LSI通过线性代数方法捕捉全局语义，但无法处理词序和非线性关系。
  • 参数 \(k\) 需权衡信息保留和计算效率，通常通过评估任务效果选择。
基于潜在语义索引（LSI）的文本语义分析算法 题目描述：潜在语义索引（LSI）是一种用于从文本数据中挖掘潜在语义结构的算法。它通过奇异值分解（SVD）对词-文档矩阵进行降维，将高维稀疏的词向量和文档向量映射到低维的"语义空间"，从而解决一词多义、同义词等问题，提升文本检索和相似度计算的准确性。 解题过程： 构建词-文档矩阵（Term-Document Matrix） 首先，将文本语料库转换为数学表示。假设有 \( m \) 个词和 \( n \) 篇文档，构建一个 \( m \times n \) 矩阵 \( X \)。 矩阵元素 \( X_ {ij} \) 表示词 \( i \) 在文档 \( j \) 中的权重。常用TF-IDF（词频-逆文档频率）作为权重，公式为： \[ \text{TF-IDF} = \text{词频（TF）} \times \log\left(\frac{\text{文档总数}}{1 + \text{包含该词的文档数}}\right) \] TF-IDF能突出重要词并抑制常见词。 对矩阵进行奇异值分解（SVD） 对矩阵 \( X \) 进行SVD分解： \[ X = U \Sigma V^T \] 其中： \( U \) 是 \( m \times m \) 的正交矩阵，列向量为词空间的奇异向量； \( \Sigma \) 是 \( m \times n \) 的对角矩阵，对角线元素为奇异值（按降序排列）； \( V^T \) 是 \( n \times n \) 的正交矩阵，行向量为文档空间的奇异向量。 SVD将原始矩阵分解为词、语义权重和文档的关联。 降维选取前 \( k \) 个主要成分 保留前 \( k \) 个最大的奇异值（通常 \( k \ll m, n \)），截取 \( U_ k \)（前 \( k \) 列）、\( \Sigma_ k \)（前 \( k \times k \) 子矩阵）、\( V_ k^T \)（前 \( k \) 行）。 降维后的近似矩阵为： \[ X_ k = U_ k \Sigma_ k V_ k^T \] 这一步去除了噪声和次要变异，保留了核心语义结构。 映射到潜在语义空间 词向量：将词 \( i \) 映射为 \( U_ k \Sigma_ k \) 的第 \( i \) 行，得到 \( k \) 维语义向量。 文档向量：将文档 \( j \) 映射为 \( \Sigma_ k V_ k^T \) 的第 \( j \) 列，得到 \( k \) 维语义向量。 此时，语义相近的词或文档在低维空间中距离更近。例如，"汽车"和"车辆"的向量会趋于相似。 应用：语义相似度计算与检索 计算文档相似度：通过余弦相似度比较文档向量的夹角。 查询处理：将查询语句视为虚拟文档，映射到语义空间后与文档向量比较。 解决一词多义：例如"苹果"（公司 vs. 水果）在不同上下文中会映射到语义空间的不同方向。 关键点： LSI通过线性代数方法捕捉全局语义，但无法处理词序和非线性关系。 参数 \( k \) 需权衡信息保留和计算效率，通常通过评估任务效果选择。