基于线性规划的随机规划补偿模型求解示例

题目描述：考虑一个电力公司面临下个月的电力需求不确定性问题。公司需要提前决定燃煤电厂的发电量（成本较低但灵活性差），同时可以依赖天然气电厂应对需求波动（成本高但灵活）。实际需求为随机变量，若提前发电量不足，需以高价调用天然气补偿；若发电过剩，则浪费部分成本。目标是制定最优的燃煤发电计划，使期望总成本（固定发电成本 + 补偿成本）最小。

解题过程：

1. 问题建模：
   • 设燃煤电厂决策变量为 \(x\)（单位：兆瓦时），单位发电成本 \( c = 40\) 元/兆瓦时。
   • 随机需求 \(d\) 服从均匀分布 \(U[50, 150]\)。
   • 若 \(x < d\)，短缺部分以天然气补偿，单位补偿成本 \( q = 100\) 元/兆瓦时；若 \(x > d\)，过剩部分产生浪费成本 \( h = 20\) 元/兆瓦时。
   • 目标函数为最小化期望总成本：

\[ \min_x \left\{ c x + \mathbb{E}[q \cdot \max(0, d - x) + h \cdot \max(0, x - d)] \right\} \]

2. 补偿模型的线性化：
   • 引入随机场景下的补偿变量 \(y_s\)（短缺量）和 \(z_s\)（过剩量），其中 \(s\) 表示需求 \(d_s\) 的具体实现（如离散化采样）。
   • 对每个场景 \(s\)，约束为：

\[ x + y_s - z_s = d_s, \quad y_s, z_s \geq 0 \]

• 目标函数转为：

\[ \min_x \left\{ c x + \sum_s p_s (q y_s + h z_s) \right\} \]

 其中 $ p_s $ 是场景 $ s $ 的概率。

3. 离散化随机需求：

   • 将连续均匀分布离散为 5 个等概率场景：\(d_s \in \{60, 80, 100, 120, 140\}\)，概率均为 \(p_s = 0.2\)。

4. 线性规划求解：

   • 最终模型为：

\[ \begin{align*} \min \quad & 40x + 0.2 \cdot (100y_1 + 20z_1 + \cdots + 100y_5 + 20z_5) \\ \text{s.t.} \quad & x + y_1 - z_1 = 60 \\ & x + y_2 - z_2 = 80 \\ & \vdots \\ & x + y_5 - z_5 = 140 \\ & x, y_s, z_s \geq 0 \quad (s=1,\dots,5) \end{align*} \]

• 使用单纯形法求解，得到最优解 \(x^* = 100\)，此时期望总成本为 4800 元。

5. 结果解释：
   • 当 \(x^* = 100\) 时，在需求为 100 的场景下无补偿成本；需求低于 100 时产生浪费成本，高于 100 时产生补偿成本，但加权平均后总成本最小。
   • 该模型通过补偿变量将随机问题转化为确定性线性规划，体现了随机规划中“补偿”策略对不确定性的缓冲作用。