分块矩阵求逆的递归算法

题目描述
分块矩阵求逆的递归算法是一种通过将大矩阵划分为更小的子块（分块矩阵），然后递归地对这些子块应用矩阵求逆公式来计算逆矩阵的方法。该算法特别适用于大型矩阵的求逆计算，能够利用矩阵的分块结构来降低计算复杂度，并且便于并行计算。核心思想是将原矩阵的求逆问题分解为多个较小矩阵的求逆问题，通过递归调用自身来解决这些子问题。

解题过程

1. 矩阵分块
   首先，将一个n×n的矩阵A划分为2×2的分块形式：

\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \]

其中，A₁₁是p×p子块，A₂₂是q×q子块（p + q = n），A₁₂是p×q子块，A₂₁是q×p子块。划分时需确保A₁₁和A₂₂是可逆的方阵（这是算法正确性的前提，实际中可通过选主元或调整分块来满足）。

2. 分块矩阵求逆公式
   若A和A₁₁可逆，则A的逆矩阵可以通过以下公式计算：

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} (A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & -(A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \\ -A_{22}^{-1}A_{21}(A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1} & A_{22}^{-1} + A_{22}^{-1}A_{21}(A_{11} - A_{12}A_{22}^{-1}A_{21})^{-1}A_{12}A_{22}^{-1} \end{bmatrix} \]

更常见的是使用Schur补公式。定义A₁₁的Schur补为：

\[ S = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \]

则A的逆矩阵为：

\[ A^{-1} = \begin{bmatrix} A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1}A_{12}S^{-1}A_{21}A_{11}^{-1} & -A_{11}^{-1}A_{12}S^{-1} \\ -S^{-1}A_{21}A_{11}^{-1} & S^{-1} \end{bmatrix} \]

此公式要求A₁₁和S可逆。

3. 递归求逆步骤

   • 步骤1：递归计算A₁₁的逆矩阵。如果A₁₁的尺寸仍然较大（例如大于预设的阈值），则继续将A₁₁分块，并递归调用本算法。如果A₁₁是小矩阵（例如1×1或2×2），则直接计算其逆（如对于1×1矩阵[a]，其逆为[1/a]；对于2×2矩阵，使用闭式公式）。
   • 步骤2：计算Schur补S = A₂₂ - A₂₁ × (A₁₁⁻¹ × A₁₂)。这里涉及矩阵乘法：先计算A₁₁⁻¹ × A₁₂，然后用A₂₁乘以前述结果，最后用A₂₂减去该结果得到S。
   • 步骤3：递归计算S的逆矩阵。同样，若S的尺寸较大，则继续分块并递归；若为小矩阵，则直接求逆。
   • 步骤4：利用A₁₁⁻¹和S⁻¹计算逆矩阵的四个子块：
     • 左上子块：A₁₁⁻¹ + (A₁₁⁻¹ × A₁₂) × S⁻¹ × (A₂₁ × A₁₁⁻¹)
     • 右上子块：- (A₁₁⁻¹ × A₁₂) × S⁻¹
     • 左下子块：- S⁻¹ × (A₂₁ × A₁₁⁻¹)
     • 右下子块：S⁻¹
       注意：所有矩阵乘法需按顺序进行，通常先计算公共部分（如A₁₁⁻¹ × A₁₂和A₂₁ × A₁₁⁻¹）以避免重复计算。

4. 递归终止条件
   当子矩阵的尺寸减小到预设的阈值（如1×1或2×2）时，递归终止，直接计算小矩阵的逆。这避免了无限递归，并提高了小规模问题的计算效率。

5. 算法复杂度与优化

   • 标准矩阵求逆（如高斯消元法）的时间复杂度为O(n³)。分块递归算法通过分治策略，理想情况下复杂度也是O(n³)，但常数因子更优，且便于缓存优化和并行计算。
   • 实际实现中，可结合Strassen等快速矩阵乘法算法来进一步降低复杂度。
   • 需要注意数值稳定性，特别是在矩阵接近奇异时，Schur补可能病态，需谨慎处理。

通过以上递归步骤，能够将大规模矩阵求逆问题分解为多个小规模问题，逐步求解并组合结果，最终得到原矩阵的逆。