基于潜在狄利克雷分配（LDA）的文档主题生成模型详解

题目描述：潜在狄利克雷分配（LDA）是一种生成式概率模型，用于从文档集合中自动发现潜在的主题结构。该算法假设每个文档由多个主题混合而成，每个主题则是词语的概率分布。LDA的目标是：给定一个文档集合，反向推断出生成这些文档的潜在主题分布以及每个主题下的词语分布。

解题过程：

1. 问题建模与基本假设

   • LDA将每个文档视为一个"词袋"（忽略词语顺序），并假设文档的生成过程遵循以下步骤：
     a. 为整个文档集合选择K个主题（K需预先指定），每个主题是词汇表上的一个多项式分布。
     b. 对每个文档d：
     i. 选择一个主题分布θ_d（文档-主题分布），这是一个K维多项式分布，通常由狄利克雷先验生成。
     ii. 对文档d中的每个词语位置：
     - 从θ_d中采样一个主题z。
     - 从该主题z对应的词语多项式分布中采样一个词语w。

2. 关键概念定义

   • 文档集合D：包含M个文档。
   • 词汇表V：所有不重复词语的集合，大小为V。
   • 主题数K：需要人工设定的超参数。
   • 文档-主题分布θ：每个文档对应一个K维向量，表示各主题在该文档中的出现概率。
   • 主题-词语分布φ：每个主题对应一个V维向量，表示各词语在该主题中的出现概率。

3. 模型推断的核心挑战

   • 我们只能观察到文档中的词语（可见变量w），而主题分配z、文档-主题分布θ和主题-词语分布φ都是隐藏变量。
   • 需要根据观察到的词语w，推断最可能的隐藏变量值（后验分布P(z,θ,φ|w)）。这是一个典型的贝叶斯推断问题。

4. 参数估计方法：吉布斯采样

   • 由于直接计算后验分布非常困难，LDA通常采用近似推断方法，吉布斯采样是最常用的一种马尔可夫链蒙特卡洛方法。
   • 基本思路：通过迭代采样每个词语的主题分配，逐步收敛到真实的后验分布。
   • 具体步骤：
     a. 随机初始化每个词语的主题分配z。
     b. 对每个文档中的每个词语，固定其他所有词语的主题分配，根据条件概率更新当前词语的主题：
     P(z_i = k | w_i, z_{-i}, w_{-i}) ∝ (n_{m,k}^{-i} + α) × (n_{k,t}^{-i} + β) / (n_k^{-i} + βV)
     其中：
     • z_i = k：将当前词语分配给主题k
     • w_i = t：当前词语是词汇表中的第t个词
     • n_{m,k}^{-i}：文档m中（除当前词语外）被分配给主题k的词语数
     • n_{k,t}^{-i}：整个语料中（除当前词语外）词语t被分配给主题k的次数
     • n_k^{-i}：整个语料中（除当前词语外）被分配给主题k的所有词语数
     • α, β：狄利克雷先验的超参数
       c. 重复迭代过程直到主题分配稳定（收敛）。

5. 参数计算

   • 吉布斯采样收敛后，根据最终的主题分配统计量计算模型参数：
     • 文档-主题分布：θ_{m,k} = (n_{m,k} + α) / (n_m + Kα)
     • 主题-词语分布：φ_{k,t} = (n_{k,t} + β) / (n_k + Vβ)

6. 主题解释与新文档推断

   • 对于每个主题k，选择概率最高的若干个词语作为该主题的代表词，从而解释主题含义。
   • 对于新文档，可以使用已训练的LDA模型推断其主题分布：固定φ，仅对新文档进行吉布斯采样来估计θ_{new}。

通过以上步骤，LDA能够自动从文档集合中挖掘出有意义的主题结构，为文本挖掘、信息检索等应用提供基础。