复合辛普森公式的推导与应用 我将为您详细讲解复合辛普森公式，这是一个在数值积分中广泛使用的重要方法。 题目描述 计算定积分 ∫ₐᵇ f(x)dx 的近似值，其中 f(x) 是定义在区间 [ a,b ] 上的函数。使用复合辛普森公式将积分区间等分为偶数个子区间，在每个子区间对上应用辛普森公式，然后求和得到整个积分的近似值。 解题过程 1. 基础理论回顾 首先回顾辛普森公式的基本形式。对于小区间 [ x₀, x₂ ] 上的积分，其中 x₁ = (x₀ + x₂)/2 是中点，辛普森公式为： ∫_ {x₀}^{x₂} f(x)dx ≈ (h/3)[ f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂) ] 其中 h = (x₂ - x₀)/2 是步长。这个公式实际上是通过三个点 (x₀, f(x₀)), (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)) 的二次插值多项式积分得到的。 2. 复合辛普森公式的推导 当积分区间 [ a,b ] 较大时，直接使用辛普森公式精度不够，需要将区间分割后复合使用。 将区间 [ a,b ] 等分为 n 个小区间（n 为偶数），则步长 h = (b-a)/n。 节点为：x₀ = a, x₁ = a+h, x₂ = a+2h, ..., x_ n = b 在每个子区间对 [ x₀,x₂], [ x₂,x₄], ..., [ x_ {n-2},x_ n ] 上应用辛普森公式： 对于 [ x₀,x₂]: (h/3)[ f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂) ] 对于 [ x₂,x₄]: (h/3)[ f(x₂) + 4f(x₃) + f(x₄) ] ... 对于 [ x_ {n-2},x_ n]: (h/3)[ f(x_ {n-2}) + 4f(x_ {n-1}) + f(x_ n) ] 将所有这些小区间的积分近似值相加，得到复合辛普森公式： S_ n = (h/3)[ f(x₀) + f(x_ n) + 4∑f(奇数下标节点) + 2∑f(偶数下标节点) ] 具体写为： S_ n = (h/3)[ f(a) + f(b) + 4∑ {k=1}^{n/2} f(x {2k-1}) + 2∑ {k=1}^{n/2-1} f(x {2k}) ] 3. 算法实现步骤 步骤1：确定积分区间 [ a,b ] 和等分数 n（n 必须为偶数） 步骤2：计算步长 h = (b-a)/n 步骤3：计算节点值 x_ k = a + kh, k = 0,1,2,...,n 步骤4：计算端点函数值之和：S_ end = f(a) + f(b) 步骤5：计算奇数下标节点函数值之和：S_ odd = ∑ {k=1}^{n/2} f(x {2k-1}) 步骤6：计算偶数下标节点函数值之和（不含端点）：S_ even = ∑ {k=1}^{n/2-1} f(x {2k}) 步骤7：计算积分近似值：S_ n = (h/3)[ S_ end + 4S_ odd + 2S_ even ] 4. 误差分析 复合辛普森公式的截断误差为： E = -[ (b-a)h⁴]/180 × f⁽⁴⁾(ξ)，其中 ξ ∈ [ a,b ] 这表明复合辛普森公式具有 O(h⁴) 的收敛阶，当步长减半时，误差大约减少为原来的 1/16。 5. 应用示例 计算 ∫₀¹ sin(x)dx 的近似值，精确值为 1 - cos(1) ≈ 0.4596976941 取 n = 4（4个小区间）： h = (1-0)/4 = 0.25 节点：x₀=0, x₁=0.25, x₂=0.5, x₃=0.75, x₄=1 计算： S_ end = sin(0) + sin(1) = 0 + 0.8414709848 = 0.8414709848 S_ odd = sin(0.25) + sin(0.75) = 0.2474039593 + 0.6816387600 = 0.9290427193 S_ even = sin(0.5) = 0.4794255386 S₄ = (0.25/3)[ 0.8414709848 + 4×0.9290427193 + 2×0.4794255386 ] = (0.25/3)[ 0.8414709848 + 3.7161708772 + 0.9588510772 ] = (0.25/3)×5.5164929392 = 0.4597077449 与精确值比较，误差约为 1.0×10⁻⁵，精度很高。