高斯-拉盖尔求积公式在带权函数积分中的变量替换技巧
题目描述
考虑计算带权函数积分 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，其中 \(f(x)\) 是定义在 \([0, \infty)\) 上的光滑函数。高斯-拉盖尔求积公式可直接用于此类积分，但若 \(f(x)\) 在原点附近有奇异性或振荡行为，直接应用可能收敛缓慢。本题要求通过变量替换技巧，将积分变换为更适合高斯-拉盖尔求积的形式，并分析替换对精度的影响。
解题过程
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高斯-拉盖尔求积公式回顾
- 公式形式：\(\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\)，其中 \(x_i\) 是拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的根，\(w_i\) 为对应权重。
- 优点：对权函数 \(e^{-x}\) 的积分具有最高代数精度（\(2n-1\) 次）。
- 局限性：当 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 附近变化剧烈时，需大量节点才能捕捉行为。
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变量替换的目标与选择
- 目标：通过替换 \(x = \phi(t)\)，将原积分化为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt\)，使新被积函数 \(g(t)\) 更平滑，提升求积效率。
- 常用替换：
- 指数替换：令 \(x = e^t - 1\)，将原点附近的陡峭区域映射到整个实轴，但可能引入新的奇点。
- 有理替换：令 \(x = t/(1-t)\)，将区间 \([0, \infty)\) 映射为 \([0,1]\)，便于处理边界行为。
- 本例选择：采用 \(x = t^2\)（平方替换），重点优化原点附近的积分行为。
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替换的具体步骤
- 令 \(x = t^2\)，则 \(dx = 2t \, dt\)，积分变为：
\[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} f(t^2) \cdot 2t \, dt. \]
- 调整形式以匹配高斯-埃尔米特求积的权函数 \(e^{-t^2}\)：
\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} \left[ t f(t^2) \right] \, dt \quad (\text{利用偶函数性质扩展区间}). \]
- 但需注意：高斯-埃尔米特公式适用于权函数 \(e^{-t^2}\)，而原问题权函数为 \(e^{-x}\)。此处需进一步调整。
- 权函数匹配与修正
- 将原积分写为：
\[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} \cdot \left[ e^{t^2 - t} \cdot 2t f(t^2) \right] \, dt. \]
- 定义新函数 \(g(t) = e^{t^2 - t} \cdot 2t f(t^2)\)，则 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2} g(t) \, dt\)。
- 但 \(e^{t^2 - t}\) 在 \(t \to \infty\) 时发散，需限制替换的适用范围。实际中常限制 \(t\) 的范围，或改用部分替换。
- 实际应用与误差控制
- 更可行的替换：令 \(x = -\ln(1-t)\)，将区间映射为 \([0,1]\)：
\[ I = \int_{0}^{1} (1-t) f(-\ln(1-t)) \, dt. \]
此形式可直接用高斯-勒让德求积计算，避免无穷区间问题。
- 误差分析：替换可能改变被积函数的光滑性。若 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处有奇点，替换 \(x = -\ln(1-t)\) 可能使 \(g(t)\) 在 \(t=1\) 处平滑，提升收敛速度。
- 示例计算
- 设 \(f(x) = \sqrt{x} e^{-x}\)，原积分 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cdot \sqrt{x} e^{-x} \, dx = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sqrt{x} \, dx\)。
- 替换 \(x = -\ln(1-t)\) 后：
\[ I = \int_{0}^{1} (1-t) \cdot \sqrt{-\ln(1-t)} \cdot (1-t) \, dt = \int_{0}^{1} (1-t)^2 \sqrt{-\ln(1-t)} \, dt. \]
- 新被积函数在 \(t=1\) 处趋于零且平滑，用少量高斯-勒让德节点即可得高精度。
总结
变量替换技巧通过改变积分变量，优化被积函数的光滑性或权函数匹配度，从而提升高斯型求积公式的效率。选择替换需平衡区间映射、奇点处理与计算复杂度。