高斯-埃尔米特求积公式的权函数与正交多项式关系分析 题目描述 高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \) 的积分，其核心是通过埃尔米特多项式的性质确定求积节点和权重。本题要求分析权函数 \( \omega(x) = e^{-x^2} \) 与正交多项式（埃尔米特多项式）的关系，并解释这种关系如何保证求积公式的最高代数精度。 解题过程 权函数与正交多项式的定义 权函数 \( \omega(x) = e^{-x^2} \) 在区间 \( (-\infty, \infty) \) 上满足非负性且积分有限，用于定义带权内积： \[ \langle f, g \rangle = \int_ {-\infty}^{\infty} \omega(x) f(x) g(x) \, dx. \] 埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 是该内积空间下的正交多项式族，满足： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} H_ m(x) H_ n(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n). \] 正交多项式根作为求积节点的合理性 高斯型求积公式的节点需选为 \( n \) 次正交多项式 \( H_ n(x) \) 的根。这些根均为实数、互异，且分布在区间 \( (-\infty, \infty) \) 上。 原因：正交多项式的根是最优节点，能最大化求积公式的代数精度。对于 \( n \) 个节点的高斯公式，代数精度可达 \( 2n-1 \)。 权重计算与正交多项式的关系 权重 \( w_ i \) 由公式 \( w_ i = \frac{\langle H_ {n-1}, H_ {n-1} \rangle}{H_ {n-1}(x_ i) H'_ n(x_ i)} \) 确定，其中 \( x_ i \) 是 \( H_ n(x) \) 的根。 推导依据：要求求积公式对次数小于 \( n \) 的多项式精确成立，利用拉格朗日插值基函数的积分性质可得权重表达式。 代数精度的证明 关键步骤：对于任意次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式 \( f(x) \)，可分解为 \( f(x) = q(x) H_ n(x) + r(x) \)，其中 \( q(x) \) 和 \( r(x) \) 次数均小于 \( n \)。 由于 \( H_ n(x) \) 与所有低次多项式正交，积分 \( \int \omega q H_ n \, dx = 0 \)，而求积公式对 \( r(x) \) 精确成立，因此整体误差为零。 权函数的作用 \( \omega(x) = e^{-x^2} \) 的衰减特性保证了积分在无穷区间的收敛性，同时决定了正交多项式（埃尔米特多项式）的递推关系形式。 若权函数改变，正交多项式族也会变化（如勒让德多项式对应权函数 \( \omega(x)=1 \)），从而影响节点和权重的分布。 总结 高斯-埃尔米特公式的高精度本质源于权函数与正交多项式的深度关联：权函数定义了内积空间，其正交多项式的根作为节点，权重由正交性导出，二者结合保证了求积公式在最大程度上的精确性。