最长等差数列的长度（进阶版——允许公差为零且包含负数） 题目描述： 给定一个整数数组 nums，返回数组中最长等差数列的子序列长度。等差数列至少包含3个元素，且公差可以是任意整数（包括零和负数）。例如，对于数组 [ 3, 6, 9, 12 ]，最长等差数列是整个数组，长度为4。 解题过程： 问题分析： 我们需要找到最长的等差数列子序列（不一定连续）。与基础版不同，这里公差可以是零（所有相等元素）或负数，且数组可能包含正负整数。 动态规划状态定义： 定义 dp[ i][ d ] 表示以第 i 个元素结尾、公差为 d 的最长等差数列长度。但由于 d 可能是任意整数，直接使用二维数组会占用过大空间。更高效的方法是用字典（哈希表）来存储状态： 令 dp[ i] 是一个字典，键为公差 d，值为以 nums[ i ] 结尾、公差为 d 的等差数列长度。 状态转移方程： 对于每个 i（从 0 到 n-1），遍历所有 j（从 0 到 i-1）： 计算公差 d = nums[ i] - nums[ j ]。 如果 dp[ j] 中存在公差 d 的键，说明 nums[ j] 已经属于某个公差为 d 的等差数列，则我们可以将 nums[ i] 接在这个数列后面：dp[ i][ d] = dp[ j][ d ] + 1。 如果 dp[ j] 中没有公差 d，说明从 nums[ j] 到 nums[ i] 可以形成一个长度为 2 的新等差数列：dp[ i][ d ] = 2。 同时，更新全局最大值 max_ len。 初始化： 每个元素本身可以视为长度为 1 的等差数列，但题目要求至少 3 个元素，因此初始时 max_ len = 0（或 1，如果允许长度为 2，但题目要求至少 3）。实际上，我们只记录长度 ≥ 2 的序列，最终返回时如果 max_ len < 3 则返回 0。 复杂度优化： 使用字典存储公差，空间复杂度 O(n²)（最坏情况），时间复杂度 O(n²)。由于数组长度可能较大，需注意哈希操作的开销。 示例演示： 以 nums = [ 1, 3, 5, 7, 9, 11 ] 为例： i=0: 无前驱，dp[ 0 ] = {}。 i=1: 与 j=0 比较，d=2，dp[ 1][ 2 ] = 2。 i=2: 与 j=0: d=4，dp[ 2][ 4]=2；与 j=1: d=2，dp[ 2][ 2] = dp[ 1][ 2 ] + 1 = 3。 继续处理，最终找到公差 2 的等差数列长度为 6。 边界情况： 数组长度小于 3 时直接返回 0。 所有元素相等时，公差 d=0，等差数列长度为 n。 包含负数时，公差可能为负，但计算时直接使用 nums[ i] - nums[ j ] 即可，字典能处理负键。 通过以上步骤，即可高效求出最长等差数列长度。