分块矩阵求逆的递归算法 题目描述 考虑一个大型分块矩阵A，我们需要高效地计算其逆矩阵。直接对大型矩阵求逆计算成本很高，特别是当矩阵很大时。分块矩阵求逆的递归算法利用矩阵分块结构，通过递归地将大矩阵分解为更小的子块，应用分块矩阵求逆公式，从而降低计算复杂度。这种方法特别适合并行计算和内存分级存储系统。 解题过程 1. 分块矩阵表示 首先将矩阵A划分为2×2分块形式： A = [ A₁₁ A₁₂ ] [ A₂₁ A₂₂ ] 其中A₁₁是p×p子矩阵，A₂₂是q×q子矩阵，A₁₂是p×q，A₂₁是q×p。 2. 分块矩阵求逆公式 根据分块矩阵理论，当A₁₁可逆时，A的逆矩阵可表示为： A⁻¹ = [ A₁₁⁻¹ + A₁₁⁻¹A₁₂S⁻¹A₂₁A₁₁⁻¹ -A₁₁⁻¹A₁₂S⁻¹ ] [ -S⁻¹A₂₁A₁₁⁻¹ S⁻¹ ] 其中S = A₂₂ - A₂₁A₁₁⁻¹A₁₂称为Schur补。 当A₂₂可逆时，也可用另一种形式： A⁻¹ = [ T⁻¹ -T⁻¹A₁₂A₂₂⁻¹ ] [ -A₂₂⁻¹A₂₁T⁻¹ A₂₂⁻¹ + A₂₂⁻¹A₂₁T⁻¹A₁₂A₂₂⁻¹ ] 其中T = A₁₁ - A₁₂A₂₂⁻¹A₂₁是另一种Schur补形式。 3. 递归策略 算法的核心思想是递归应用分块求逆： 如果子矩阵A₁₁或A₂₂的维度仍然较大，继续将其分块 对更小的子矩阵递归应用相同的分块求逆过程 当子矩阵足够小时，使用直接求逆方法（如高斯-消元法） 4. 算法步骤 步骤1：检查矩阵维度，如果小于预设阈值（如64×64），直接用高斯消元法求逆 步骤2：将矩阵A划分为近似相等的四个子块： A = [ A₁₁ A₁₂ ] [ A₂₁ A₂₂ ] 步骤3：递归计算A₁₁的逆矩阵（如果A₁₁奇异，尝试用A₂₂作为主块） 步骤4：计算Schur补：S = A₂₂ - A₂₁ × (A₁₁⁻¹ × A₁₂) 步骤5：递归计算S的逆矩阵 步骤6：根据分块求逆公式组合结果： 左上块：A₁₁⁻¹ + (A₁₁⁻¹ × A₁₂) × S⁻¹ × (A₂₁ × A₁₁⁻¹) 右上块：-(A₁₁⁻¹ × A₁₂) × S⁻¹ 左下块：-S⁻¹ × (A₂₁ × A₁₁⁻¹) 右下块：S⁻¹ 5. 计算复杂度分析 该算法的计算复杂度为O(n³)，与标准高斯消元法相同，但具有更好的数值稳定性和缓存性能。通过智能分块，可以减少矩阵乘法的次数并提高缓存命中率。 6. 数值稳定性考虑 需要选择数值稳定的主元（选择A₁₁或A₂₂中条件数较小的作为主块） 对于病态矩阵，可能需要结合部分选主元策略 可结合迭代 refinement 提高精度 这种递归分块方法为大型矩阵求逆提供了实用的解决方案，特别在现代计算机体系结构下能发挥更好的性能。