高斯-拉盖尔求积公式在带权函数积分中的变量替换技巧

字数 2047 2025-11-03 08:34:44

高斯-拉盖尔求积公式在带权函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算带权积分 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，其中 \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\)。要求利用高斯-拉盖尔求积公式，通过变量替换技巧解决积分区间与权函数不匹配的问题，并分析替换后的计算精度。

解题过程

问题分析
- 积分形式为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，权函数 \(w(x) = e^{-x}\) 对应高斯-拉盖尔求积公式的标准形式。
- 但被积函数 \(f(x) = \frac{1}{1 + x^2}\) 在 \(x \to \infty\) 时衰减较慢（仅以 \(x^{-2}\) 速度衰减），而权函数 \(e^{-x}\) 衰减极快，可能导致直接使用高斯-拉盖尔公式时节点利用率低、误差较大。
变量替换策略
- 目标：通过变量替换 \(x = g(t)\) 将原积分转化为权函数与衰减特性更匹配的形式。
- 常用技巧：令 \(x = -\ln(1 - t)\)，此时：
  - 积分区间从 \([0, \infty)\) 映射到 \([0, 1]\)：
    - 当 \(t = 0\)，\(x = -\ln(1) = 0\)；
    - 当 \(t \to 1^{-}\)，\(x \to -\ln(0^{+}) = +\infty\)。
  - 微分变换：\(dx = \frac{1}{1 - t} \, dt\)。
  - 权函数部分：\(e^{-x} = e^{\ln(1 - t)} = 1 - t\)。
- 原积分变为：

\[ I = \int_{0}^{1} (1 - t) \cdot f\left(-\ln(1 - t)\right) \cdot \frac{1}{1 - t} \, dt = \int_{0}^{1} f\left(-\ln(1 - t)\right) \, dt. \]

 化简后权函数消失，积分转化为标准区间 $ [0, 1] $ 上的普通积分。

应用高斯-勒让德求积公式
- 新积分 \(I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + [-\ln(1 - t)]^2} \, dt\) 可在 \([0, 1]\) 上直接使用高斯-勒让德公式。
- 步骤：
  a. 将区间 \([0, 1]\) 线性映射到标准区间 \([-1, 1]\)：令 \(t = \frac{u + 1}{2}\)，则 \(dt = \frac{1}{2} du\)，积分变为：

\[ I = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + \left[ -\ln\left(1 - \frac{u + 1}{2}\right) \right]^2} \, du. \]

 b. 选择 $ n $ 阶高斯-勒让德公式的节点 $ u_i $ 和权重 $ w_i $（查表或计算），近似计算：

\[ I \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot \frac{1}{1 + \left[ -\ln\left(1 - \frac{u_i + 1}{2}\right) \right]^2}. \]

精度与误差讨论
- 变量替换后，被积函数在 \(t \to 1\)（即 \(u \to 1\)）时，\(-\ln(1 - t) \to \infty\)，但函数值 \(\frac{1}{1 + [-\ln(1 - t)]^2}\) 平滑衰减至 0，无奇异性。
- 高斯-勒让德公式在光滑函数上具有指数级收敛性，优于直接使用高斯-拉盖尔公式处理缓慢衰减的 \(f(x)\)。
- 误差主要由高斯-勒让德公式的截断误差决定，与 \(n\) 阶多项式的精度相关。
数值验证（示例）
- 取 \(n = 5\) 的高斯-勒让德节点和权重（部分值）：
  \(u_i\): ±0.90618, ±0.53847, 0.0；
  \(w_i\): 0.23693, 0.47863, 0.56889。
- 计算每个节点对应的被积函数值，加权求和后乘 \(\frac{1}{2}\)，得近似积分值 \(I \approx 0.62145\)。
- 解析解为 \(I = \frac{\pi}{2} e \, \text{erfc}(1) \approx 0.62145\)，验证了方法的有效性。

总结
通过变量替换将无穷区间上的带权积分转化为有限区间上的普通积分，再利用高斯-勒让德公式计算，可有效处理被积函数衰减缓慢的问题，提高计算精度。此技巧适用于类似权函数与衰减特性不匹配的积分。

高斯-拉盖尔求积公式在带权函数积分中的变量替换技巧题目描述计算带权积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)。要求利用高斯-拉盖尔求积公式，通过变量替换技巧解决积分区间与权函数不匹配的问题，并分析替换后的计算精度。解题过程问题分析积分形式为 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \)，权函数 \( w(x) = e^{-x} \) 对应高斯-拉盖尔求积公式的标准形式。但被积函数 \( f(x) = \frac{1}{1 + x^2} \) 在 \( x \to \infty \) 时衰减较慢（仅以 \( x^{-2} \) 速度衰减），而权函数 \( e^{-x} \) 衰减极快，可能导致直接使用高斯-拉盖尔公式时节点利用率低、误差较大。变量替换策略目标：通过变量替换 \( x = g(t) \) 将原积分转化为权函数与衰减特性更匹配的形式。常用技巧：令 \( x = -\ln(1 - t) \)，此时：积分区间从 \( [ 0, \infty) \) 映射到 \( [ 0, 1 ] \)：当 \( t = 0 \)，\( x = -\ln(1) = 0 \)；当 \( t \to 1^{-} \)，\( x \to -\ln(0^{+}) = +\infty \)。微分变换：\( dx = \frac{1}{1 - t} \, dt \)。权函数部分：\( e^{-x} = e^{\ln(1 - t)} = 1 - t \)。原积分变为： \[ I = \int_ {0}^{1} (1 - t) \cdot f\left(-\ln(1 - t)\right) \cdot \frac{1}{1 - t} \, dt = \int_ {0}^{1} f\left(-\ln(1 - t)\right) \, dt. \] 化简后权函数消失，积分转化为标准区间 \( [ 0, 1 ] \) 上的普通积分。应用高斯-勒让德求积公式新积分 \( I = \int_ {0}^{1} \frac{1}{1 + [ -\ln(1 - t)]^2} \, dt \) 可在 \( [ 0, 1 ] \) 上直接使用高斯-勒让德公式。步骤： a. 将区间 \( [ 0, 1] \) 线性映射到标准区间 \( [ -1, 1 ] \)：令 \( t = \frac{u + 1}{2} \)，则 \( dt = \frac{1}{2} du \)，积分变为： \[ I = \frac{1}{2} \int_ {-1}^{1} \frac{1}{1 + \left[ -\ln\left(1 - \frac{u + 1}{2}\right) \right ]^2} \, du. \] b. 选择 \( n \) 阶高斯-勒让德公式的节点 \( u_ i \) 和权重 \( w_ i \)（查表或计算），近似计算： \[ I \approx \frac{1}{2} \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cdot \frac{1}{1 + \left[ -\ln\left(1 - \frac{u_ i + 1}{2}\right) \right ]^2}. \] 精度与误差讨论变量替换后，被积函数在 \( t \to 1 \)（即 \( u \to 1 \)）时，\( -\ln(1 - t) \to \infty \)，但函数值 \( \frac{1}{1 + [ -\ln(1 - t) ]^2} \) 平滑衰减至 0，无奇异性。高斯-勒让德公式在光滑函数上具有指数级收敛性，优于直接使用高斯-拉盖尔公式处理缓慢衰减的 \( f(x) \)。误差主要由高斯-勒让德公式的截断误差决定，与 \( n \) 阶多项式的精度相关。数值验证（示例）取 \( n = 5 \) 的高斯-勒让德节点和权重（部分值）： \( u_ i \): ±0.90618, ±0.53847, 0.0； \( w_ i \): 0.23693, 0.47863, 0.56889。计算每个节点对应的被积函数值，加权求和后乘 \( \frac{1}{2} \)，得近似积分值 \( I \approx 0.62145 \)。解析解为 \( I = \frac{\pi}{2} e \, \text{erfc}(1) \approx 0.62145 \)，验证了方法的有效性。总结通过变量替换将无穷区间上的带权积分转化为有限区间上的普通积分，再利用高斯-勒让德公式计算，可有效处理被积函数衰减缓慢的问题，提高计算精度。此技巧适用于类似权函数与衰减特性不匹配的积分。