ECC椭圆曲线加密算法中的点压缩与解压缩过程 题目描述 在椭圆曲线密码学（ECC）中，公钥通常是椭圆曲线上的一个点。为了节省存储空间和传输带宽，我们使用点压缩技术将点的坐标表示从64字节（256位x坐标+256位y坐标）压缩到33字节（1字节前缀+256位x坐标）。题目要求详细解释点压缩的原理、压缩过程以及解压缩过程，包括如何从x坐标恢复y坐标，并处理平方根计算中的符号问题。 解题过程 1. 椭圆曲线点的标准表示 在ECC中，一个点P的坐标通常表示为(x, y)，其中x和y是有限域GF(p)上的元素（p为大素数）。 未压缩点格式：直接存储x和y，共64字节（假设256位素数域）。 点压缩的核心思想：利用椭圆曲线方程，通过x坐标推导出y坐标，仅存储x和y的符号信息。 2. 点压缩的原理 椭圆曲线方程：y² = x³ + ax + b (mod p)。 给定x，可计算y²的值，但y有两个可能解：y和-y（即p-y）。 关键观察：y的奇偶性（或特定性质）可区分这两个解。通常用y的符号位（奇偶性）作为标识： 若y是偶数，标记为0x02（压缩格式前缀）。 若y是奇数，标记为0x03。 未压缩点前缀为0x04，压缩点前缀为0x02或0x03。 3. 点压缩的步骤 输入 ：椭圆曲线点P = (x, y)。 步骤1 ：检查点是否为无穷远点（单位元）。若是，压缩结果为单字节0x00。 步骤2 ：计算y mod 2（即y的奇偶性）： 若y为偶数，设置前缀byte = 0x02。 若y为奇数，设置前缀byte = 0x03。 步骤3 ：将x坐标转换为字节序列（固定长度，如32字节）。 输出 ：压缩点 = 前缀byte || x的字节表示（共33字节）。 4. 点解压缩的原理 输入 ：压缩点（前缀byte + x坐标字节）。 目标 ：恢复完整的点坐标(x, y)。 步骤1 ：若前缀为0x00，返回无穷远点。 步骤2 ：从输入中解析x坐标值。 步骤3 ：代入曲线方程计算y² = x³ + ax + b (mod p)。 步骤4 ：计算y²的模p平方根（即解y² ≡ k (mod p)）。常用方法： 当p ≡ 3 (mod 4) 时，平方根公式：y = k^{(p+1)/4} mod p。 当p ≡ 1 (mod 4) 时，需用Tonelli–Shanks算法等复杂方法（但常见ECC曲线如secp256k1的p满足p ≡ 3 mod 4）。 步骤5 ：得到两个候选解y1和y2（满足y2 = p - y1）。 步骤6 ：根据前缀选择正确的y： 若前缀为0x02，选择偶数的y（即y1为偶数则选y1，否则选y2）。 若前缀为0x03，选择奇数的y。 输出 ：恢复的点P = (x, y)。 5. 示例（以secp256k1曲线为例） 曲线参数：p = 2²⁵⁶ - 2³² - 977 ≡ 3 (mod 4)。 假设点P = (x, y)，其中y为偶数。 压缩 ：前缀取0x02，输出0x02 || x。 解压缩 ： 计算y² = x³ + 7 (mod p)。 计算y_ candidate = y²^{(p+1)/4} mod p。 若y_ candidate为偶数，则y = y_ candidate；否则y = p - y_ candidate。 验证点是否在曲线上（防止错误输入）。 6. 关键细节 奇偶性判断 ：在模p运算中，奇偶性指整数表示的最低有效位（LSB）。 安全性 ：解压缩需验证结果是否在曲线上，否则可能被恶意输入攻击。 效率 ：平方根计算在p ≡ 3 mod 4时效率高，是选择曲线参数的考量之一。 通过以上步骤，点压缩技术在不牺牲安全性的前提下，将公钥大小减少50%，显著提升了ECC的实用性。