基于身份的广播加密（IBBE）算法

题目描述
IBBE是一种特殊的公钥加密机制，允许一个发送者使用一组接收者的身份（如邮箱地址、手机号）作为公钥，同时向多个接收者安全地广播消息。只有指定的接收者集合才能解密消息，而集合外的用户即使合作也无法解密。题目要求理解IBBE的初始化、密钥生成、加密和解密四个核心步骤，并掌握其安全性依赖的数学难题。

解题过程

1. 系统初始化

   • 输入安全参数λ和最大接收者数量n。
   • 生成双线性群参数：选择阶为大素数p的群G1、G2和GT，以及双线性对e: G1 × G2 → GT。
   • 选择随机生成元g1 ∈ G1, g2 ∈ G2，主私钥α ← ℤp∗，计算系统公钥h = g2^α。
   • 定义哈希函数H: {0,1}* → G1，将身份映射到群元素。
   • 输出主公钥MPK = (g1, g2, h, H, e)和主私钥MSK = α。

2. 用户私钥生成

   • 输入主私钥α和用户身份ID。
   • 计算私钥dID = H(ID)^α ∈ G1（通过H(ID)的指数运算生成）。
   • 每个用户仅需保存自己的dID，无需证书管理。

3. 广播加密

   • 假设发送者希望加密消息M给接收者集合S = {ID1, ID2, ..., IDt}（t ≤ n）。
   • 随机选择k ← ℤp∗作为会话密钥，计算：
     • 密文头C1 = g1^k ∈ G1
     • 对每个身份IDi ∈ S，计算Q_i = H(IDi) ∈ G1
     • 生成C2 = M ⊕ KDF(e(g1, h)^k)（KDF为密钥派生函数）
     • 计算C3 = (∏_{IDi∈S} Q_i)^k ∈ G1（通过群运算聚合所有接收者的公钥）
   • 输出密文CT = (S, C1, C2, C3)。

4. 解密过程

   • 接收者IDj ∈ S使用私钥dIDj解密：
     • 计算Q_j = H(IDj)，并构造集合S' = S \ {IDj}。
     • 利用双线性对性质计算临时密钥：
       T = e(dIDj, C1) / e( ∏_{IDi∈S'} Q_i^k, g2 )
     • 还原会话密钥：KDF(T) = KDF(e(g1, h)^k)
     • 解密消息：M = C2 ⊕ KDF(T)

5. 安全性依赖

   • IBBE的安全性基于双线性Diffie-Hellman（BDH）难题：给定g1^a, g1^b, g2^a, g2^c，计算e(g1, g2)^abc是困难的。
   • 攻击者若无法获得合法接收者的私钥，即使知道MPK和密文，也无法推导会话密钥。

关键点

• 身份即公钥简化了密钥管理，但需保证身份唯一性。
• 解密时需验证自己属于S，并通过双线性对抵消非自身身份的影响。
• 实际应用中需结合对称加密（如AES）提高效率，会话密钥k仅用于加密对称密钥。