最长递增子序列的变种：带限制的最长递增子序列（每个元素最多出现k次）

题目描述
给定一个整数数组nums和一个整数k，找到最长递增子序列的长度，要求这个子序列中每个元素最多出现k次。注意：子序列不要求连续，但必须保持原数组中的相对顺序。

示例：
输入：nums = [1,2,2,3,3,3,4], k = 2
输出：4
解释：最长递增子序列可以是[1,2,2,3]或[1,2,3,3]等，其中每个数字最多出现2次。

解题思路
这个问题是标准最长递增子序列(LIS)问题的变种，增加了每个元素出现次数不超过k次的限制。我们需要修改传统的动态规划方法来解决这个限制。

详细解题步骤

步骤1：定义状态
我们定义dp[i]为以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。但为了处理出现次数限制，我们需要记录每个值出现的次数。

更准确地说，我们定义：

• dp[i]：以nums[i]结尾的最长递增子序列长度
• count[i]：在dp[i]对应的子序列中，nums[i]出现的次数

步骤2：状态转移方程
对于每个位置i，我们需要检查所有j < i：

1. 如果nums[j] < nums[i]，那么可以将nums[i]接在以nums[j]结尾的子序列后面
2. 但是需要检查添加nums[i]后，整个子序列中nums[i]的出现次数是否超过k

状态转移方程：
dp[i] = max{ dp[j] + 1 }，对于所有j < i且满足：

• nums[j] < nums[i]
• 在以j结尾的子序列中，nums[i]的出现次数 < k

步骤3：处理出现次数限制
为了跟踪每个值在子序列中的出现次数，我们需要维护一个辅助数组：

• freq[i][val]：记录在以i结尾的子序列中，值val出现的次数

或者更高效的方法是：对于每个位置i，我们维护一个映射，记录当前子序列中各个数值的出现次数。

步骤4：算法实现
我们可以使用动态规划结合出现次数跟踪：

1. 初始化dp数组全为1（每个元素单独构成子序列）
2. 初始化freq数组，记录每个位置对应的子序列中数值出现情况
3. 遍历数组，对于每个位置i：
   • 初始化dp[i] = 1
   • 初始化freq[i]中，nums[i]出现1次
   • 对于所有j < i：
     • 如果nums[j] < nums[i]：
       • 检查freq[j]中nums[i]的出现次数
       • 如果出现次数 < k，则可以接上：dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
       • 更新freq[i]中各个数值的出现次数

步骤5：优化考虑
上述方法的时间复杂度是O(n²)，对于较大的n可能效率不高。我们可以考虑优化：

优化思路：使用二分查找+贪心思想，类似LIS的O(n log n)解法，但需要修改以处理出现次数限制。

步骤6：最终解法
更高效的解法是维护多个"桶"，每个桶对应不同的子序列长度，对于每个长度，我们记录可能的最小结尾值及其出现次数信息。

具体实现：

1. 使用一个列表tails，其中tails[i]表示长度为i+1的所有递增子序列的最小结尾值
2. 对于每个数值，我们需要维护它在当前子序列中的出现次数
3. 当处理新元素x时：
   • 使用二分查找找到x应该插入的位置
   • 检查插入后x的出现次数是否超过k
   • 如果不超过，则正常插入；如果超过，则需要特殊处理

步骤7：代码框架

def lengthOfLISWithLimit(nums, k):
    if not nums:
        return 0
    
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    # freq[i]是一个字典，记录以i结尾的子序列中各个数值的出现次数
    freq = [{} for _ in range(n)]
    
    for i in range(n):
        freq[i][nums[i]] = 1  # 当前元素至少出现1次
        
    max_len = 1
    
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i]:
                # 检查nums[i]在以j结尾的子序列中的出现次数
                current_count = freq[j].get(nums[i], 0)
                if current_count < k:
                    if dp[j] + 1 > dp[i]:
                        dp[i] = dp[j] + 1
                        # 更新频率信息
                        freq[i] = freq[j].copy()
                        freq[i][nums[i]] = freq[i].get(nums[i], 0) + 1
        max_len = max(max_len, dp[i])
    
    return max_len

步骤8：复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)
• 空间复杂度：O(n²)（因为每个位置需要存储一个频率字典）

这个解法虽然不如标准LIS的O(n log n)解法高效，但能正确处理出现次数限制，并且思路清晰易懂。