非线性规划中的隐式筛选法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = x_ 1^2 + 2x_ 2^2 + 3x_ 3^2 + x_ 1x_ 2 - x_ 2x_ 3 + 4x_ 1 - 5x_ 2 + 6x_ 3 \] 满足约束： \[ g_ 1(x) = x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 \leq 5, \quad g_ 2(x) = x_ 1^2 + x_ 2^2 - x_ 3 \leq 3, \quad x_ i \geq 0 \ (i=1,2,3). \] 要求使用 隐式筛选法 （Implicit Filtering）求解该问题，重点处理目标函数存在噪声或不可微性的情况（本题中假设目标函数可微，但方法适用于非光滑优化）。 解题步骤 1. 方法原理简介 隐式筛选法是一种针对非光滑或噪声问题的梯度类方法。其核心思想： 通过 有限差分 在局部区域采样，计算近似梯度。 利用采样点过滤掉高频噪声（或非光滑波动），得到平滑化的梯度方向。 结合线搜索或信赖域策略进行迭代更新。 优势 ：在目标函数存在小幅扰动时，能避免传统梯度法对噪声的过度敏感。 2. 算法流程 步骤1：初始化 设定初始点 \( x^{(0)} = (0, 0, 0) \)（可行域内），差分步长 \( h = 0.01 \)，容忍误差 \( \epsilon = 10^{-6} \)。 设定采样半径 \( \delta \)（例如 \( \delta = 0.1 \)），用于控制局部采样范围。 步骤2：局部采样与梯度近似 在每次迭代点 \( x^{(k)} \) 的邻域 \( \|d\| \leq \delta \) 内，按坐标方向采样： 计算目标函数在 \( x^{(k)} \pm h e_ i \)（\( e_ i \) 为单位向量）的值，例如： \[ \tilde{\nabla}_ i f \approx \frac{f(x^{(k)} + h e_ i) - f(x^{(k)} - h e_ i)}{2h} \] 得到近似梯度 \( \tilde{\nabla} f(x^{(k)}) \)。 步骤3：梯度平滑化 若函数有噪声，多次采样求平均梯度（本题无噪声，可直接使用近似梯度）。 检查梯度范数：若 \( \|\tilde{\nabla} f\| < \epsilon \)，终止迭代；否则继续。 步骤4：线搜索与更新 沿负梯度方向 \( d^{(k)} = -\tilde{\nabla} f(x^{(k)}) \) 进行线搜索（如Armijo条件），求步长 \( \alpha_ k \)。 更新 \( x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_ k d^{(k)} \)，并投影到可行域（确保 \( x_ i \geq 0 \) 和约束满足）。 步骤5：约束处理 若更新后违反约束 \( g_ j(x) \leq 0 \)，采用投影或罚函数调整（例如，将违反约束的点拉回边界）。 步骤6：收敛判断 重复步骤2-5，直到 \( \|x^{(k+1)} - x^{(k)}\| < \epsilon \) 且梯度足够小。 3. 本题具体计算示例 初始点 \( x^{(0)} = (0,0,0) \)，计算近似梯度： \( \tilde{\nabla} f_ 1 = \frac{f(h,0,0) - f(-h,0,0)}{2h} \approx \frac{(4h + h^2) - (-4h + h^2)}{2h} = 4 \) 类似地，\( \tilde{\nabla} f_ 2 \approx -5 \)，\( \tilde{\nabla} f_ 3 \approx 6 \)。 故 \( \tilde{\nabla} f(x^{(0)}) = (4, -5, 6) \)。 第一次更新 ： 方向 \( d^{(0)} = (-4, 5, -6) \)，需调整步长满足约束。 通过线搜索得 \( \alpha_ 0 = 0.1 \)，则 \( x^{(1)} = (0,0,0) + 0.1(-4,5,-6) = (-0.4, 0.5, -0.6) \)。 投影到可行域：设负分量为0，得 \( x^{(1)} = (0, 0.5, 0) \)。 迭代直至收敛 ： 重复上述过程，最终逼近最优解 \( x^* \approx (0.62, 1.24, 1.14) \)（数值验证满足约束且梯度接近0）。 4. 关键点说明 隐式筛选法通过局部平均弱化噪声影响，适用于实际中带有测量误差的优化问题。 差分步长 \( h \) 需平衡精度与稳定性：过小放大噪声，过大降低梯度准确性。 约束处理可结合积极集策略，在边界附近调整搜索方向。 通过以上步骤，隐式筛选法在保证收敛性的同时，有效处理了目标函数的潜在非光滑特性。