基于线性规划的Karmarkar内点法求解示例
字数 1422 2025-11-03 00:20:06

基于线性规划的Karmarkar内点法求解示例

我将为您详细讲解Karmarkar内点法的基本原理和求解过程。这是一种革命性的线性规划算法，在理论上具有多项式时间复杂性。

问题描述
考虑线性规划问题：
最小化：\(z = -x_1 - x_2\)
约束条件：
\(x_1 + 2x_2 \leq 6\)
\(2x_1 + x_2 \leq 6\)
\(x_1, x_2 \geq 0\)

第一步：问题标准化
首先将问题转化为Karmarkar算法要求的标准形式：

  1. 引入松弛变量 \(x_3, x_4 \geq 0\)
  2. 所有约束变为等式形式
  3. 目标函数系数调整符号（因原问题是最大化）

标准化后的问题：
最小化：\(z = -x_1 - x_2\)
约束条件：
\(x_1 + 2x_2 + x_3 = 6\)
\(2x_1 + x_2 + x_4 = 6\)
\(x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0\)

第二步：问题变换到单纯形空间
Karmarkar算法的关键思想是将问题映射到一个特殊的坐标系中：

  1. 定义变换：\(y_i = \frac{x_i}{\sum_{j=1}^4 x_j}\)（投影变换）
  2. 在当前点（通常取可行域中心）进行坐标变换
  3. 目标函数和约束条件都进行相应的非线性变换

第三步：选择初始点
在Karmarkar算法中，我们选择可行域的一个内点作为起点。对于我们的问题：
初始点可取：\(x^{(0)} = (1, 1, 3, 3)\)
验证可行性：
\(1 + 2×1 + 3 = 6\) ✓
\(2×1 + 1 + 3 = 6\) ✓

第四步：投影变换计算
定义投影矩阵 \(P = I - A^T(AA^T)^{-1}A\)，其中A是约束矩阵
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

计算投影梯度方向：
\(d = -Pc\)（其中c是目标函数系数向量 \([-1, -1, 0, 0]^T\)）

第五步：确定移动步长
Karmarkar算法采用自适应步长策略：

  1. 计算最大可行步长 \(\alpha_{max}\)
  2. 选择步长 \(\alpha = 0.5 × \alpha_{max}\)（通常取0.25-0.5倍的边界距离）
  3. 确保新点仍在可行域内部

第六步：迭代更新
新点计算公式：\(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha d\)
经过第一次迭代后，我们得到改进的解。

第七步：收敛性检查
重复步骤4-6，直到满足收敛条件：

  1. 目标函数值变化小于阈值
  2. 梯度范数足够小
  3. 达到最大迭代次数

第八步：最终结果
经过数次迭代后，算法收敛到最优解：
\(x_1^* = 2, x_2^* = 2, z^* = -4\)
验证：
\(2 + 2×2 = 6\) ✓
\(2×2 + 2 = 6\) ✓
目标函数值：\(-2-2 = -4\)（最小值）

算法特点总结

  1. 从可行域内部开始迭代，避免边界遍历
  2. 理论上的多项式时间复杂性 \(O(n^{3.5}L)\)
  3. 需要特殊的问题标准化形式
  4. 通过投影变换保持迭代点在可行域内部

Karmarkar算法是线性规划领域的重大突破，为内点法的发展奠定了基础，特别适合大规模稀疏问题的求解。

基于线性规划的Karmarkar内点法求解示例 我将为您详细讲解Karmarkar内点法的基本原理和求解过程。这是一种革命性的线性规划算法，在理论上具有多项式时间复杂性。 问题描述 考虑线性规划问题： 最小化：$ z = -x_ 1 - x_ 2 $ 约束条件： $ x_ 1 + 2x_ 2 \leq 6 $ $ 2x_ 1 + x_ 2 \leq 6 $ $ x_ 1, x_ 2 \geq 0 $ 第一步：问题标准化 首先将问题转化为Karmarkar算法要求的标准形式： 引入松弛变量 $x_ 3, x_ 4 \geq 0$ 所有约束变为等式形式 目标函数系数调整符号（因原问题是最大化） 标准化后的问题： 最小化：$ z = -x_ 1 - x_ 2 $ 约束条件： $ x_ 1 + 2x_ 2 + x_ 3 = 6 $ $ 2x_ 1 + x_ 2 + x_ 4 = 6 $ $ x_ 1, x_ 2, x_ 3, x_ 4 \geq 0 $ 第二步：问题变换到单纯形空间 Karmarkar算法的关键思想是将问题映射到一个特殊的坐标系中： 定义变换：$ y_ i = \frac{x_ i}{\sum_ {j=1}^4 x_ j} $（投影变换） 在当前点（通常取可行域中心）进行坐标变换 目标函数和约束条件都进行相应的非线性变换 第三步：选择初始点 在Karmarkar算法中，我们选择可行域的一个内点作为起点。对于我们的问题： 初始点可取：$ x^{(0)} = (1, 1, 3, 3) $ 验证可行性： $ 1 + 2×1 + 3 = 6 $ ✓ $ 2×1 + 1 + 3 = 6 $ ✓ 第四步：投影变换计算 定义投影矩阵 $ P = I - A^T(AA^T)^{-1}A $，其中A是约束矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $ 计算投影梯度方向： $ d = -Pc $（其中c是目标函数系数向量 $[ -1, -1, 0, 0 ]^T$） 第五步：确定移动步长 Karmarkar算法采用自适应步长策略： 计算最大可行步长 $ \alpha_ {max} $ 选择步长 $ \alpha = 0.5 × \alpha_ {max} $（通常取0.25-0.5倍的边界距离） 确保新点仍在可行域内部 第六步：迭代更新 新点计算公式：$ x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha d $ 经过第一次迭代后，我们得到改进的解。 第七步：收敛性检查 重复步骤4-6，直到满足收敛条件： 目标函数值变化小于阈值 梯度范数足够小 达到最大迭代次数 第八步：最终结果 经过数次迭代后，算法收敛到最优解： $ x_ 1^* = 2, x_ 2^* = 2, z^* = -4 $ 验证： $ 2 + 2×2 = 6 $ ✓ $ 2×2 + 2 = 6 $ ✓ 目标函数值：$ -2-2 = -4 $（最小值） 算法特点总结 从可行域内部开始迭代，避免边界遍历 理论上的多项式时间复杂性 $O(n^{3.5}L)$ 需要特殊的问题标准化形式 通过投影变换保持迭代点在可行域内部 Karmarkar算法是线性规划领域的重大突破，为内点法的发展奠定了基础，特别适合大规模稀疏问题的求解。