对称矩阵特征值问题的分治法
字数 2339 2025-11-03 00:20:06

对称矩阵特征值问题的分治法

题目描述
分治法是一种高效计算对称矩阵特征值的算法，尤其适用于三对角对称矩阵。该方法将原矩阵分解为两个较小的子问题，通过递归求解子问题的特征值，再结合秩-1修正矩阵的特征值问题，利用二分法和特征值计数函数快速合并结果。最终得到原矩阵的全部特征值。

解题过程

1. 问题转化：三对角对称矩阵的表示
设对称三对角矩阵 \(T\) 为：

\[T = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & & \\ b_1 & a_2 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & b_{n-1} & a_n \end{bmatrix} \]

分治法的核心思想是将 \(T\) 拆分为两个更小的三对角矩阵，并通过秩-1修正合并结果。

2. 矩阵的分割
将 \(T\) 分割为如下形式：

\[T = \begin{bmatrix} T_1 & 0 \\ 0 & T_2 \end{bmatrix} + b_m \cdot u u^\top \]

其中：

  • \(T_1\) 是前 \(m\) 行 \(m\) 列的子矩阵（\(a_1\) 到 \(a_m\) 及对应的 \(b_i\)），
  • \(T_2\) 是后 \(n-m\) 行 \(n-m\) 列的子矩阵（\(a_{m+1}\) 到 \(a_n\) 及对应的 \(b_i\)），
  • \(u\) 是列向量：前 \(m\) 个元素中仅第 \(m\) 个为 1，后 \(n-m\) 个元素中仅第 1 个为 1，其余为 0，即 \(u = [0, \dots, 1, 1, \dots, 0]^\top\)。
  • \(b_m\) 是分割点处的非对角元。

示例：若 \(n=4, m=2\)，则

\[T = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & 0 & 0 \\ b_1 & a_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 & b_3 \\ 0 & 0 & b_3 & a_4 \end{bmatrix} + b_2 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

注意修正项仅影响第 \(m\) 和 \(m+1\) 行/列的交界处。

3. 递归求解子问题
递归计算 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的特征值：

  • 若子矩阵大小为 1，直接返回 \(a_i\) 作为特征值；
  • 否则继续分割，直到子问题可解。
    设 \(T_1\) 的特征值为 \(\alpha_1, \dots, \alpha_m\)，\(T_2\) 的特征值为 \(\beta_1, \dots, \beta_{n-m}\)。

4. 合并特征值：秩-1修正的特征值问题
合并问题转化为求以下矩阵的特征值：

\[D = \operatorname{diag}(\alpha_1, \dots, \alpha_m, \beta_1, \dots, \beta_{n-m}), \quad M = D + b_m u u^\top \]

其中 \(u = [0, \dots, 1, 1, \dots, 0]^\top\)（第 \(m\) 和 \(m+1\) 位为 1）。

关键性质：

  • 若 \(b_m = 0\)，则特征值为 \(\alpha_i\) 和 \(\beta_j\) 的简单并集；
  • 若 \(b_m \neq 0\)，需解方程：

\[f(\lambda) = 1 + b_m \sum_{i=1}^m \frac{1}{\alpha_i - \lambda} + b_m \sum_{j=1}^{n-m} \frac{1}{\beta_j - \lambda} = 0 \]

该方程来自特征值问题的西尔维斯特行列式条件。

5. 特征值计数函数与二分法
定义特征值计数函数 \(\varphi(\lambda)\) 为矩阵 \(T - \lambda I\) 的负特征值个数（可通过计算 \(T - \lambda I\) 的 LU 分解中负对角元个数快速得到）。
对于区间 \([L, R]\)，若 \(\varphi(R) - \varphi(L) = k\)，则区间内恰有 \(k\) 个特征值。

合并步骤：

  1. 将 \(\alpha_i\) 和 \(\beta_j\) 合并排序，得到区间端点；
  2. 在每个区间内，利用 \(f(\lambda)\) 的单调性（在极点间严格递减）和二分法，结合特征值计数确定唯一特征值的位置；
  3. 用牛顿迭代精确求解 \(f(\lambda) = 0\)。

6. 算法复杂度

  • 每次合并的复杂度为 \(O(n)\)（因需处理 \(n\) 个区间）；
  • 递归树深度为 \(O(\log n)\)，总复杂度 \(O(n \log n)\)（若使用快速二分法）。

总结
分治法通过递归分解问题、解决子问题、合并结果（利用秩-1修正的特征值性质）高效计算对称三对角矩阵的特征值，避免了传统 QR 算法的 \(O(n^2)\) 复杂度，尤其适用于大规模矩阵。

对称矩阵特征值问题的分治法 题目描述 分治法是一种高效计算对称矩阵特征值的算法，尤其适用于三对角对称矩阵。该方法将原矩阵分解为两个较小的子问题，通过递归求解子问题的特征值，再结合秩-1修正矩阵的特征值问题，利用二分法和特征值计数函数快速合并结果。最终得到原矩阵的全部特征值。 解题过程 1. 问题转化：三对角对称矩阵的表示 设对称三对角矩阵 \( T \) 为： \[ T = \begin{bmatrix} a_ 1 & b_ 1 & & \\ b_ 1 & a_ 2 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & b_ {n-1} \\ & & b_ {n-1} & a_ n \end{bmatrix} \] 分治法的核心思想是将 \( T \) 拆分为两个更小的三对角矩阵，并通过秩-1修正合并结果。 2. 矩阵的分割 将 \( T \) 分割为如下形式： \[ T = \begin{bmatrix} T_ 1 & 0 \\ 0 & T_ 2 \end{bmatrix} + b_ m \cdot u u^\top \] 其中： \( T_ 1 \) 是前 \( m \) 行 \( m \) 列的子矩阵（\( a_ 1 \) 到 \( a_ m \) 及对应的 \( b_ i \)）， \( T_ 2 \) 是后 \( n-m \) 行 \( n-m \) 列的子矩阵（\( a_ {m+1} \) 到 \( a_ n \) 及对应的 \( b_ i \)）， \( u \) 是列向量：前 \( m \) 个元素中仅第 \( m \) 个为 1，后 \( n-m \) 个元素中仅第 1 个为 1，其余为 0，即 \( u = [ 0, \dots, 1, 1, \dots, 0 ]^\top \)。 \( b_ m \) 是分割点处的非对角元。 示例 ：若 \( n=4, m=2 \)，则 \[ T = \begin{bmatrix} a_ 1 & b_ 1 & 0 & 0 \\ b_ 1 & a_ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_ 3 & b_ 3 \\ 0 & 0 & b_ 3 & a_ 4 \end{bmatrix} + b_ 2 \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \] 注意修正项仅影响第 \( m \) 和 \( m+1 \) 行/列的交界处。 3. 递归求解子问题 递归计算 \( T_ 1 \) 和 \( T_ 2 \) 的特征值： 若子矩阵大小为 1，直接返回 \( a_ i \) 作为特征值； 否则继续分割，直到子问题可解。 设 \( T_ 1 \) 的特征值为 \( \alpha_ 1, \dots, \alpha_ m \)，\( T_ 2 \) 的特征值为 \( \beta_ 1, \dots, \beta_ {n-m} \)。 4. 合并特征值：秩-1修正的特征值问题 合并问题转化为求以下矩阵的特征值： \[ D = \operatorname{diag}(\alpha_ 1, \dots, \alpha_ m, \beta_ 1, \dots, \beta_ {n-m}), \quad M = D + b_ m u u^\top \] 其中 \( u = [ 0, \dots, 1, 1, \dots, 0 ]^\top \)（第 \( m \) 和 \( m+1 \) 位为 1）。 关键性质 ： 若 \( b_ m = 0 \)，则特征值为 \( \alpha_ i \) 和 \( \beta_ j \) 的简单并集； 若 \( b_ m \neq 0 \)，需解方程： \[ f(\lambda) = 1 + b_ m \sum_ {i=1}^m \frac{1}{\alpha_ i - \lambda} + b_ m \sum_ {j=1}^{n-m} \frac{1}{\beta_ j - \lambda} = 0 \] 该方程来自特征值问题的西尔维斯特行列式条件。 5. 特征值计数函数与二分法 定义特征值计数函数 \( \varphi(\lambda) \) 为矩阵 \( T - \lambda I \) 的负特征值个数（可通过计算 \( T - \lambda I \) 的 LU 分解中负对角元个数快速得到）。 对于区间 \( [ L, R ] \)，若 \( \varphi(R) - \varphi(L) = k \)，则区间内恰有 \( k \) 个特征值。 合并步骤 ： 将 \( \alpha_ i \) 和 \( \beta_ j \) 合并排序，得到区间端点； 在每个区间内，利用 \( f(\lambda) \) 的单调性（在极点间严格递减）和二分法，结合特征值计数确定唯一特征值的位置； 用牛顿迭代精确求解 \( f(\lambda) = 0 \)。 6. 算法复杂度 每次合并的复杂度为 \( O(n) \)（因需处理 \( n \) 个区间）； 递归树深度为 \( O(\log n) \)，总复杂度 \( O(n \log n) \)（若使用快速二分法）。 总结 分治法通过递归分解问题、解决子问题、合并结果（利用秩-1修正的特征值性质）高效计算对称三对角矩阵的特征值，避免了传统 QR 算法的 \( O(n^2) \) 复杂度，尤其适用于大规模矩阵。