Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆 题目描述 ：给定一个n阶可逆方阵A，要求使用Gauss-Jordan消元法计算其逆矩阵A⁻¹。该方法通过将增广矩阵[ A | I]（其中I是n阶单位矩阵）通过初等行变换化为[ I | A⁻¹ ]的形式，从而直接得到逆矩阵。 解题过程 ： 构造增广矩阵 将n阶单位矩阵I放在可逆矩阵A的右侧，构成一个n×2n的增广矩阵：M = [ A | I ]。 目标是通过一系列行变换，将M的左半部分（即A的部分）化为单位矩阵I。根据矩阵理论，此时右半部分即为A的逆矩阵A⁻¹。 前向消元：将矩阵A化为上三角矩阵 从第1列开始，到第n列结束，依次将主对角线元素（称为主元）下方的元素消为0。 对于第k列（k从1到n） ： a. 选主元（增强数值稳定性） ：在当前列k中，从第k行到第n行寻找绝对值最大的元素所在的行，记为p行。交换第k行和第p行（如果需要）。这可以避免使用过小的数作为除数，减少计算误差。 b. 归一化主元行 ：将第k行除以主元M[ k,k ]，使得主对角线元素变为1。注意，此时需要将整行都进行除法运算，包括右半部分（即单位矩阵部分）。 操作： M[k, :] = M[k, :] / M[k, k] c. 消去下方元素 ：对于第k行以下的所有行i（i从k+1到n），将第i行减去第k行的M[ i,k ]倍，使得第k列在第i行位置的元素变为0。 操作： M[i, :] = M[i, :] - M[i, k] * M[k, :] 完成前向消元后，矩阵M的左半部分（即原矩阵A的位置）变成了一个主对角线上元素全为1的上三角矩阵。 后向消元：将上三角矩阵化为单位矩阵 从第n列开始，到第1列结束（即从下往上，从右往左），依次将主对角线上方的元素消为0。 对于第k列（k从n到1，步长为-1） ： a. 消去上方元素 ：对于第k行以上的所有行i（i从k-1到1，步长为-1），将第i行减去第k行的M[ i,k ]倍，使得第k列在第i行位置的元素变为0。 操作： M[i, :] = M[i, :] - M[i, k] * M[k, :] 注意：此时第k行的主对角线元素已经是1，并且该列下方元素已为0（在前向消元中完成），上方元素即将被消为0。 提取逆矩阵 经过上述所有行变换，原增广矩阵M的左半部分已经变成了单位矩阵I，而右半部分就是矩阵A的逆矩阵A⁻¹。 即，最终M的形态为[ I | A⁻¹ ]。从M中取出右半部分的n×n矩阵，即为所求的逆矩阵。 关键点 ： 整个过程只允许使用初等 行 变换。 选主元操作对于数值稳定性至关重要，特别是在计算机求解时。 最终目标是左半部分变为单位矩阵，如果无法实现（例如出现全0行），则说明原矩阵A是奇异的（不可逆）。 通过以上步骤，我们系统地利用行变换将原矩阵“清除”为单位矩阵，同时这些变换作用在旁边的单位矩阵上，就“记录”下了逆矩阵的变换过程，最终直接得到逆矩阵。