层次聚类（Hierarchical Clustering）算法的原理与实现过程

题目描述：层次聚类是一种基于距离的聚类算法，它通过逐步合并或分裂数据点来构建一个树状的聚类结构（树状图）。与K-means等需要预先指定聚类数量的算法不同，层次聚类能够展示数据在不同粒度下的聚类结果。本题要求你理解层次聚类的两种主要方法（凝聚式和分裂式），掌握距离度量方式，并学会构建和分析树状图。

解题过程：

1. 算法基本思想

   • 层次聚类的核心是创建一个层次化的聚类树（树状图），其中每个叶子节点代表一个数据点，每个内部节点代表一个聚类。
   • 主要分为两种策略：
     • 凝聚式（自底向上）：从每个数据点作为一个单独的聚类开始，逐步合并最接近的聚类，直到所有点合并为一个聚类。
     • 分裂式（自顶向下）：从所有数据点作为一个聚类开始，逐步分裂为更小的聚类，直到每个点成为一个聚类（较少使用，计算更复杂）。

2. 距离度量与联动准则

   • 首先需要定义数据点之间的距离（如欧氏距离、曼哈顿距离）。
   • 当处理聚类（包含多个点）时，需要定义聚类间的距离（联动准则）：
     • 单链接：两个聚类中最近点之间的距离。公式：\(d(C_i, C_j) = \min_{a \in C_i, b \in C_j} d(a, b)\)
     • 全链接：两个聚类中最远点之间的距离。公式：\(d(C_i, C_j) = \max_{a \in C_i, b \in C_j} d(a, b)\)
     • 平均链接：两个聚类中所有点对之间的平均距离。公式：\(d(C_i, C_j) = \frac{1}{|C_i||C_j|} \sum_{a \in C_i} \sum_{b \in C_j} d(a, b)\)
     • 质心链接：两个聚类质心之间的距离。

3. 凝聚式层次聚类步骤（以平均链接为例）

   • 步骤1：将每个数据点初始化为一个单独的聚类，并计算所有点对之间的距离矩阵。
   • 步骤2：找到距离矩阵中最小距离对应的两个聚类 \(C_i\) 和 \(C_j\)。
   • 步骤3：合并 \(C_i\) 和 \(C_j\) 为一个新聚类 \(C_{new}\)，更新聚类集合。
   • 步骤4：重新计算新聚类 \(C_{new}\) 与其他所有聚类之间的距离（使用平均链接公式更新距离矩阵）。
   • 步骤5：重复步骤2-4，直到所有数据点合并为一个聚类。

4. 树状图构建与聚类提取

   • 在合并过程中记录每次合并的聚类和距离，可以构建树状图。纵轴表示聚类间的距离，横轴显示数据点。
   • 通过水平切割树状图（在指定距离阈值处）即可获得不同数量的聚类。例如：在距离=3处切割，得到3个聚类。

5. 算法特点分析

   • 优点：不需要预设聚类数；树状图提供直观的层次视图。
   • 缺点：计算复杂度高（\(O(n^3)\) 或优化后 \(O(n^2 \log n)\)），难以处理大规模数据；合并决策不可逆。

通过以上步骤，你可以逐步实现层次聚类，并根据树状图选择合适的分割阈值来获得聚类结果。