分块矩阵的QR分解算法 题目描述 ： 考虑一个大型的稠密矩阵A，其规模为m×n（m ≥ n）。为了高效计算其QR分解（即A = QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵），我们可以采用分块策略。该算法将矩阵A按列分成若干个块（Block），对每个块依次进行QR分解，并利用先前已分解块的信息来更新后续待分解的块。这种方法能更好地利用现代计算机的存储层次结构（如缓存），提高计算效率，尤其适用于大规模矩阵。 解题过程 ： 矩阵分块 ： 将矩阵A按列分成r个块：A = [ A₁, A₂, ..., Aᵣ ]，其中每个块Aₖ的维度是m × nₖ，且所有nₖ的和等于n。 分块的大小nₖ通常选择为使得每个块能较好地适应计算机的高速缓存（Cache），以减少内存访问的延迟。 处理第一个块A₁ ： 对第一个块A₁进行标准的QR分解（例如，使用Householder变换或Gram-Schmidt过程）。设分解结果为： A₁ = Q₁ R₁₁ 其中，Q₁是一个m×m的正交矩阵，R₁₁是一个m×n₁的上三角矩阵。但在实际存储中，我们通常只存储Q₁的紧凑形式（如Householder向量）和R₁₁的上三角部分。 更新第二个块A₂ ： 初始的第二个块A₂尚未与Q₁正交。为了将分解过程继续下去，我们需要用Q₁ᵀ（即Q₁的转置）左乘A₂，将其变换到由Q₁的列张成的空间的正交补空间中（或者说，消除A₂在Q₁列空间上的分量）。 计算：A₂⁽¹⁾ = Q₁ᵀ A₂ 这个操作实际上是将A₂投影到与Q₁的列空间正交的空间上。注意，A₂⁽¹⁾的维度仍然是m × n₂。 对更新后的第二个块进行QR分解 ： 现在，我们关注的是A₂⁽¹⁾中与Q₁正交的部分。我们对A₂⁽¹⁾进行QR分解。但是注意，A₂⁽¹⁾是一个m×n₂的矩阵，而我们需要的是与Q₁正交的部分的基。通常，我们只取A₂⁽¹⁾的后(m - n₁)行（因为前n₁行可能包含与Q₁列空间相关的信息，但经过Q₁ᵀ变换后，理论上A₂⁽¹⁾的前n₁行可能不为零，但在标准的分块QR算法流程中，我们直接对整个A₂⁽¹⁾进行分解，但最终得到的R矩阵会有特定的结构）。 更精确的做法是：认识到经过Q₁ᵀ变换后，A₂⁽¹⁾可以写为： A₂⁽¹⁾ = [ ... ; ... ] (一个分块形式) 实际上，在算法实现中，我们直接对A₂⁽¹⁾进行QR分解。设分解结果为： A₂⁽¹⁾ = Q₂₂ R₂₂ 这里，Q₂₂是一个m×m的正交矩阵，R₂₂是一个m×n₂的上三角矩阵。但是，为了构建整个矩阵A的QR分解，我们需要一个不同的视角。 构建整体的Q和R ： 让我们重新审视整个过程。我们有： A = [ A₁, A₂] = [ Q₁R₁₁, A₂ ] 将A₂用Q₁ᵀ变换：A₂ = Q₁ (Q₁ᵀ A₂) + (I - Q₁Q₁ᵀ)A₂。在QR分解的语境下，我们目标是找到一个正交矩阵Q，使得QᵀA是上三角矩阵R。 更标准的分块QR构造是： 令 Q̂ = Q₁ （目前只处理了第一块）。 那么 Q̂ᵀ A = [ Q₁ᵀA₁, Q₁ᵀA₂] = [ R₁₁, A₂⁽¹⁾ ]。 现在，矩阵 [ R₁₁, A₂⁽¹⁾ ] 的左上角已经是一个上三角块R₁₁，但右下角部分（即A₂⁽¹⁾）还不是上三角的。我们需要对A₂⁽¹⁾进行QR分解。 设 A₂⁽¹⁾ 的QR分解为： A₂⁽¹⁾ = Q₂ R₂₂，其中Q₂是正交矩阵，R₂₂是上三角矩阵。注意，这里的Q₂的维度需要与A₂⁽¹⁾兼容。实际上，更常见的做法是引入一个嵌入的正交矩阵。 构造整体的正交矩阵Q为： Q = Q₁ * [ I, 0; 0, Q₂ ] （这是一个分块对角形式，其中I是n₁×n₁单位阵）。 那么，QᵀA = [ I, 0; 0, Q₂ᵀ] Q₁ᵀ A = [ I, 0; 0, Q₂ᵀ] [ R₁₁, A₂⁽¹⁾] = [ R₁₁, A₂⁽¹⁾; 0, Q₂ᵀ A₂⁽¹⁾ ]。 因为 A₂⁽¹⁾ = Q₂ R₂₂，所以 Q₂ᵀ A₂⁽¹⁾ = R₂₂。 因此，QᵀA = [ R₁₁, A₂⁽¹⁾的上半部分; 0, R₂₂ ]。这个矩阵就是一个上三角矩阵R。其中，A₂⁽¹⁾的上半部分通常被称为R₁₂。 所以，最终的整体R矩阵是： R = [ R₁₁, R₁₂ ] [ 0, R₂₂ ] 其中，R₁₁是第一个块的R，R₁₂是Q₁ᵀA₂的上半部分（一个n₁×n₂的矩阵），R₂₂是第二个块经过更新和分解后得到的上三角矩阵。 推广到多个块 ： 对于第k个块（k>1），假设我们已经有了前k-1个块对应的部分正交基Q̂₍ₖ₋₁₎（这是一个紧凑表示），以及对应的部分R矩阵。 用Q̂₍ₖ₋₁₎ᵀ左乘当前块Aₖ，得到更新后的块Aₖ⁽ᵏ⁻¹⁾。这个操作消除了Aₖ在前k-1个块张成的空间上的分量。 然后，对Aₖ⁽ᵏ⁻¹⁾进行QR分解（例如，对其最后m - (n₁+...+nₖ₋₁)行组成的子矩阵进行分解，或者更一般地，直接分解，但记录下R矩阵的结构），得到该块对应的正交变换Qₖₖ和上三角矩阵Rₖₖ。 更新整体的正交变换矩阵Q（通常以因式形式存储，即存储所有的Householder向量或 compact WY 表示等，而不是显式形成大的Q矩阵）。 将Rₖₖ填充到整体R矩阵的相应位置。 算法总结与优势 ： 输入 ：矩阵A，分块大小或分块数。 过程 ： 将A分块。 对第一个块进行QR分解，得到Q₁和R₁₁。 对于k从2到r： a. 用之前积累的正交变换（Q̂₍ₖ₋₁₎）更新当前块Aₖ： Aₖ⁽ᵏ⁻¹⁾ = Q̂₍ₖ₋₁₎ᵀ Aₖ。 b. 对Aₖ⁽ᵏ⁻¹⁾进行QR分解，得到该块对应的正交变换信息（如Qₖₖ的紧凑表示）和上三角矩阵Rₖₖ。 c. 更新整体的正交变换表示Q̂₍ₖ₎（例如，将新的Householder向量添加到存储中）。 d. 将Rₖₖ及其上方的块（来自Aₖ⁽ᵏ⁻¹⁾）填充到整体R矩阵中。 输出 ：整体正交矩阵Q的紧凑表示，以及整体的上三角矩阵R。 优势 ：分块QR分解算法的主要优势在于提高了缓存利用率。对每个块的操作（如QR分解、矩阵乘法）可以在高速缓存中完成大部分计算，减少了与主内存的数据交换，从而显著提升了大规模矩阵计算的效率。此外，该算法也便于进行并行化计算。 通过这种分块的处理方式，我们将一个大规模矩阵的QR分解问题转化为一系列小规模矩阵的QR分解和矩阵乘法问题，从而更适应现代计算机的体系结构。