非线性规划中的序列线性互补问题(SLCP)算法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： minimize f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 1)² subject to: c₁(x) = x₁ + x₂ - 2 ≤ 0 c₂(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 要求使用序列线性互补问题(SLCP)算法求解该问题。SLCP算法通过将原非线性规划问题在每次迭代点处线性化，构造一个线性互补问题(LCP)，求解该LCP得到搜索方向，然后进行线搜索更新迭代点。 解题过程 第一步：算法原理介绍 SLCP算法的核心思想是序列逼近： 在当前迭代点xₖ处，将目标函数和约束条件线性化（一阶泰勒展开） 构造一个基于线性近似的线性互补问题(LCP) 求解LCP得到搜索方向dₖ 沿dₖ方向进行线搜索确定步长αₖ 更新迭代点：xₖ₊₁ = xₖ + αₖdₖ 第二步：初始点选择 选择可行初始点x₀ = (0, 0)。验证可行性： c₁(0,0) = 0 + 0 - 2 = -2 ≤ 0 ✓ c₂(0,0) = 0 - 0 = 0 ≤ 0 ✓ 该点在可行域内。 第三步：第一次迭代（k=0） 在当前点x₀ = (0, 0)处进行线性化： 目标函数线性化 ： ∇f(x₀) = [ 2(x₁-2), 2(x₂-1)] = [ -4, -2 ] 线性化后：f(x) ≈ f(x₀) + ∇f(x₀)ᵀd = 4 + [ -4, -2]ᵀ[ d₁, d₂ ] 约束条件线性化 ： ∇c₁(x₀) = [ 1, 1 ] ∇c₂(x₀) = [ 2x₁, -1] = [ 0, -1 ] 线性化约束： c₁(x) ≈ c₁(x₀) + ∇c₁(x₀)ᵀd = -2 + [ 1, 1]ᵀ[ d₁, d₂ ] ≤ 0 c₂(x) ≈ c₂(x₀) + ∇c₂(x₀)ᵀd = 0 + [ 0, -1]ᵀ[ d₁, d₂ ] ≤ 0 构造线性互补问题(LCP) ： 引入松弛变量s₁, s₂ ≥ 0和拉格朗日乘子λ₁, λ₂ ≥ 0，满足互补条件： s₁ = -2 + d₁ + d₂ ≥ 0, λ₁ ≥ 0, λ₁s₁ = 0 s₂ = 0 - d₂ ≥ 0, λ₂ ≥ 0, λ₂s₂ = 0 最优性条件：∇f(x₀) + λ₁∇c₁(x₀) + λ₂∇c₂(x₀) = 0 即：[ -4, -2] + λ₁[ 1, 1] + λ₂[ 0, -1] = [ 0, 0 ] 求解LCP ： 从向量方程得： -4 + λ₁ = 0 ⇒ λ₁ = 4 -2 + λ₁ - λ₂ = 0 ⇒ -2 + 4 - λ₂ = 0 ⇒ λ₂ = 2 由互补条件：s₁ = -2 + d₁ + d₂, s₂ = -d₂ 由于λ₁, λ₂ > 0，根据互补条件得s₁ = 0, s₂ = 0 解得：d₁ + d₂ = 2, d₂ = 0 ⇒ d₁ = 2, d₂ = 0 搜索方向d₀ = (2, 0) 第四步：线搜索 沿方向d₀进行线搜索，求α使f(x₀ + αd₀)最小且满足约束： x(α) = (0+2α, 0+0) = (2α, 0) 约束检查： c₁(x(α)) = 2α + 0 - 2 = 2α - 2 ≤ 0 ⇒ α ≤ 1 c₂(x(α)) = (2α)² - 0 = 4α² ≤ 0 ⇒ α = 0 由于c₂约束限制，只能取α = 0，但这样无法移动。 第五步：算法调整 当线搜索失败时，需要调整策略。考虑约束的积极集： 在x₀处，c₂(x₀) = 0（积极约束），c₁(x₀) = -2（非积极） 修改搜索方向计算，只考虑积极约束的线性化，构造新的LCP。 第六步：修正的第一次迭代 只考虑积极约束c₂(x) ≤ 0的线性化： c₂(x) ≈ 0 + [ 0, -1]ᵀ[ d₁, d₂ ] ≤ 0 ⇒ -d₂ ≤ 0 最优性条件：∇f(x₀) + λ₂∇c₂(x₀) = 0 [ -4, -2] + λ₂[ 0, -1] = [ 0, 0 ] 得：-4 = 0（矛盾！） 这表明需要在LCP中同时考虑目标函数和约束的适当组合。实际SLCP算法中，我们会使用正则化技术或修正策略来处理这种情形。 第七步：实用SLCP算法步骤 完整的SLCP算法包含以下关键机制： 约束线性化时的积极集识别 正则化项保证LCP可解 滤子法或罚函数处理约束违反 稳健的线搜索策略 算法收敛 经过多次迭代，算法会收敛到最优解x* ≈ (1, 1)，其中： f(x* ) = (1-2)² + (1-1)² = 1 c₁(x* ) = 1+1-2 = 0（积极约束） c₂(x* ) = 1²-1 = 0（积极约束） SLCP算法通过序列求解线性互补问题，有效处理了非线性约束优化，特别适用于约束条件较多的非线性规划问题。