最长公共子序列的变种：带字符替换限制的最长公共子序列（进阶版：允许部分字符替换为通配符）

题目描述
给定两个字符串s和t，以及一个字符替换规则：某些特定字符可以被替换为通配符'?'（通配符可以匹配任意字符）。求在允许进行字符替换操作后，s和t的最长公共子序列（LCS）长度。注意：每个字符最多只能被替换一次，且只能替换为通配符。

解题过程

步骤1：问题分析
这是标准LCS问题的变种，关键区别在于允许将特定字符替换为通配符。通配符可以匹配任意字符，这增加了匹配的灵活性。我们需要在动态规划状态中记录替换操作的使用情况。

步骤2：状态定义
定义三维DP数组：

• dp[i][j][k] 表示考虑字符串s的前i个字符和t的前j个字符，在使用k次替换操作的情况下，能得到的最长公共子序列长度。
• 其中k的取值范围为0到最大允许替换次数（本题中为特定字符的数量）。

步骤3：状态转移方程
考虑字符匹配的几种情况：

1. 不匹配任何字符：
   dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])

2. 字符直接匹配（s[i-1] == t[j-1]）：
   dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k] + 1)

3. 使用通配符匹配：

   • 如果s[i-1]可以被替换为通配符：
     dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1) （当k > 0时）
   • 如果t[j-1]可以被替换为通配符：
     dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1) （当k > 0时）

步骤4：初始化

• dp[0][j][k] = 0 （空字符串与任何字符串的LCS为0）
• dp[i][0][k] = 0
• dp[0][0][k] = 0

步骤5：算法实现

def lcs_with_replacement(s, t, replaceable_chars):
    m, n = len(s), len(t)
    max_k = sum(1 for c in s if c in replaceable_chars) + \
            sum(1 for c in t if c in replaceable_chars)
    
    dp = [[[0] * (max_k + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
    
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            for k in range(max_k + 1):
                # 情况1：不匹配当前字符
                dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i][j-1][k])
                
                # 情况2：直接匹配
                if s[i-1] == t[j-1]:
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k] + 1)
                
                # 情况3：使用通配符匹配
                if k > 0:
                    if s[i-1] in replaceable_chars:
                        dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1)
                    if t[j-1] in replaceable_chars:
                        dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-1][k-1] + 1)
    
    return max(dp[m][n])

步骤6：复杂度分析

• 时间复杂度：O(m × n × K)，其中K为最大替换次数
• 空间复杂度：O(m × n × K)，可通过滚动数组优化到O(n × K)

步骤7：示例验证
设s = "ABC", t = "ADC", 可替换字符集 = {'B', 'D'}

• 最大替换次数K = 2（s中有1个可替换字符，t中有1个）
• 最优解：将B替换为通配符，匹配t的D；或者将D替换为通配符，匹配s的B
• LCS长度 = 2（"AC"）

这个算法通过三维动态规划有效处理了字符替换的限制条件，扩展了标准LCS的应用范围。