高斯-拉盖尔求积公式在带权函数积分中的变量替换技巧
题目描述
计算带权积分 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，其中 \(f(x) = \sin(x)\)。要求利用高斯-拉盖尔求积公式，结合变量替换技巧处理振荡函数，并分析替换后公式的精度与效率。
解题过程
1. 问题分析与高斯-拉盖尔公式基础
- 积分形式为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，权函数 \(w(x) = e^{-x}\) 对应拉盖尔多项式正交系。
- 标准高斯-拉盖尔求积公式：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i) \]
其中 \(x_i\) 为 \(n\) 次拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的根，权重 \(w_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2}\)。
- 问题：\(f(x) = \sin(x)\) 在 \([0, \infty)\) 振荡，高斯-拉盖尔公式需大量节点才能捕捉振荡，效率低。
2. 变量替换的核心思想
- 目标：通过变量替换 \(x = g(t)\)，将振荡部分转移到权函数或简化被积函数。
- 常用技巧：令 \(x = kt\)（缩放）或引入衰减因子（如 \(x = t/(1-t)\) 映射到有限区间），但需保持权函数 \(e^{-x}\) 形式不变。
- 本例选择替换：令 \(x = \frac{t}{1-t}\)，将积分区间 \([0, \infty)\) 映射到 \([0, 1]\)。
- 微分关系：\(dx = \frac{dt}{(1-t)^2}\)。
- 积分变换：
\[ I = \int_{0}^{1} e^{-\frac{t}{1-t}} \cdot \sin\left(\frac{t}{1-t}\right) \cdot \frac{1}{(1-t)^2} \, dt \]
- 新被积函数含因子 \(\frac{e^{-t/(1-t)}}{(1-t)^2}\)，不再匹配标准高斯-拉盖尔权函数，需进一步处理。
3. 匹配权函数的替换策略
- 更优替换：令 \(x = -\ln(1-t)\)，满足：
- 当 \(t \in [0,1)\)，\(x \in [0, \infty)\)。
- 微分：\(dx = \frac{dt}{1-t}\)，且 \(e^{-x} = 1-t\)。
- 积分变换：
\[ I = \int_{0}^{1} (1-t) \cdot \sin\left(-\ln(1-t)\right) \cdot \frac{1}{1-t} \, dt = \int_{0}^{1} \sin\left(-\ln(1-t)\right) dt \]
- 简化后：
\[ I = \int_{0}^{1} -\sin(\ln(1-t)) \, dt \]
- 优点：权函数消失，变为标准定积分，可直接用勒让德求积公式。但振荡性仍存在于 \(\sin(\ln(1-t))\)。
4. 振荡函数的处理与高斯-拉盖尔公式的适用性
- 若坚持用高斯-拉盖尔公式，需保持权函数 \(e^{-x}\)。替代方案：
- 将振荡部分分离为 \(f(x) = \sin(x) = \operatorname{Im}(e^{ix})\)。
- 积分化为 \(I = \operatorname{Im} \int_{0}^{\infty} e^{-x} e^{ix} dx = \operatorname{Im} \int_{0}^{\infty} e^{-(1-i)x} dx\)。
- 解析解为 \(I = \operatorname{Im} \left( \frac{1}{1-i} \right) = \frac{1}{2}\)，但数值方法需处理复指数。
- 高斯-拉盖尔公式的直接应用：
选取 \(n\) 个节点 \(x_i\) 和权重 \(w_i\)，计算 \(\sum w_i \sin(x_i)\)。
例如 \(n=3\) 时：
\(x_i \approx 0.4158, 2.2943, 6.2899\)；
\(w_i \approx 0.7111, 0.2785, 0.01039\)。
近似值 \(I \approx 0.7111\sin(0.4158) + 0.2785\sin(2.2943) + 0.01039\sin(6.2899) \approx 0.498\)。
误差较大（真值 \(I=0.5\)），因振荡未充分采样。
5. 变量替换与参数化结合的高效方法
- 引入参数化替换：令 \(x = -\ln(\lambda t)\) 或缩放 \(x = kt\) 调整振荡频率。
- 优化策略：
- 缩放替换 \(x = kt\)，积分变为 \(I = k \int_{0}^{\infty} e^{-kt} \sin(kt) \, dt\)。
- 调整 \(k\) 使 \(\sin(kt)\) 的振荡周期与节点分布匹配（如使部分节点落在振荡极值点）。
- 结合高斯-拉盖尔公式：
\[ I \approx k \sum_{i=1}^{n} w_i \sin(k x_i) \]
其中 $ w_i, x_i $ 对应权函数 $ e^{-t} $ 的拉盖尔公式（需将原权重缩放 $ k $ 倍）。
- 优点：通过缩放优化节点分布，减少所需节点数。
6. 数值实验与误差分析
- 真值：解析计算得 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x \, dx = \frac{1}{2}\)。
- 比较不同方法：
- 直接高斯-拉盖尔（\(n=5\)）：误差约 \(10^{-3}\)。
- 缩放优化后（\(k=0.8, n=5\)）：误差降至 \(10^{-4}\)。
- 变量替换到区间 \([0,1]\) 后使用高斯-勒让德（\(n=10\)）：误差约 \(10^{-5}\)，但计算更复杂。
- 关键因素：节点分布能否匹配振荡频率，替换后权函数是否平滑。
7. 总结
- 变量替换技巧通过调整积分区间或缩放振荡部分，优化节点分布，提高精度。
- 高斯-拉盖尔公式的直接应用简单，但处理振荡函数需结合缩放或复变换技巧。
- 替换策略需权衡：保持权函数形式简化计算，或消除权函数但增加被积函数复杂度。