线性动态规划：最少操作使数组元素全部相等（每次操作可对连续k个元素加1或减1）

题目描述
给定一个整数数组nums和一个整数k，每次操作可以选择一个长度为k的连续子数组，将该子数组中的所有元素加1或减1。要求计算使数组中所有元素相等的最少操作次数。如果无法实现，返回-1。

解题过程

步骤1：问题分析
这个问题的核心在于理解操作的特殊性：

1. 每次操作影响的是连续k个元素
2. 操作可以加1也可以减1
3. 目标是通过最少的操作次数让所有元素相等

首先考虑可行性：由于每次操作影响k个连续元素，如果k=1，显然总是可行的。对于k>1的情况，需要分析操作对数组元素的相对影响。

步骤2：关键观察
设目标值为target，考虑相邻元素之间的关系。对于任意位置i和i+1，如果i≥k-1，那么操作覆盖位置i的子数组与覆盖位置i+1的子数组有k-1个重叠元素。

更精确地，定义差分数组d[i] = nums[i] - nums[i-1]（i≥1）。每次操作对区间[i, i+k-1]加1，相当于：

• d[i]增加1
• d[i+k]减少1（如果i+k存在）

这意味着操作实际上是在调整差分数组的值。

步骤3：可行性判断
对于k>1的情况，考虑数组的前k-1个元素。由于任何操作都无法单独改变前k-1个元素中的某一个而不影响其他元素，因此前k-1个元素必须能够通过整体调整达到相等。

更准确地说，对于所有i ≡ j (mod k)的位置，它们的值必须能够调整到相等。这是因为操作的影响在模k意义下是相关的。

步骤4：动态规划状态定义
定义dp[i][j]表示考虑前i个元素，且第i个元素经过j次操作调整后的最小操作次数。但这样状态空间太大，需要优化。

实际上，我们可以通过数学分析得到更优解。设目标值为t，那么对于每个位置i，需要的调整量是t - nums[i]。但由于操作是连续的，调整量必须满足某种模式。

步骤5：差分数组解法
更高效的方法是使用差分数组：

1. 计算每个位置i的"相对调整量"：对于i≥k，调整量必须满足某种递推关系
2. 通过滑动窗口计算最小操作次数

具体算法：

• 对于i从0到n-k，计算需要将nums[i]调整到与nums[i+1]等值的操作次数
• 累加这些操作次数，同时考虑操作的影响范围

步骤6：具体实现

def minOperations(nums, k):
    n = len(nums)
    if k == 1:
        # 每个元素可以独立调整
        return sum(abs(nums[i] - nums[0]) for i in range(1, n))
    
    # 检查可行性
    for i in range(k-1, n):
        if (nums[i] - nums[i-k+1]) % k != 0:
            return -1
    
    # 计算最小操作次数
    operations = 0
    diff = [0] * n
    
    for i in range(n - k + 1):
        # 当前需要调整的量
        current_diff = nums[i] + diff[i]
        target = nums[0]  # 以第一个元素为目标
        
        if i == 0:
            adjust = target - current_diff
        else:
            # 后续元素必须与前一个元素保持特定关系
            adjust = (nums[i-1] + diff[i-1] + k - 1) - current_diff
        
        if adjust % k != 0:
            return -1
        
        operations += abs(adjust) // k
        diff[i] += adjust
        if i + k < n:
            diff[i+k] -= adjust
    
    # 验证最后k-1个元素是否相等
    for i in range(n - k + 1, n):
        if nums[i] + diff[i] != target:
            return -1
    
    return operations

步骤7：算法优化
上述解法可以进一步优化。实际上，最优解可以通过计算每个位置模k的余数分组，然后对每组分别求解：

1. 将数组按位置模k的余数分组
2. 对每组排序，找到中位数
3. 计算每组元素到中位数的距离之和

def minOperationsOptimized(nums, k):
    n = len(nums)
    if k == 1:
        median = sorted(nums)[n//2]
        return sum(abs(x - median) for x in nums)
    
    # 按模k的余数分组
    groups = [[] for _ in range(k)]
    for i, num in enumerate(nums):
        groups[i % k].append(num)
    
    # 检查每组是否可行
    for group in groups:
        if len(set(group)) > 1:
            # 每组内的元素必须能调整到相等
            if any((group[i] - group[0]) % k != 0 for i in range(1, len(group))):
                return -1
    
    total_ops = 0
    for group in groups:
        if not group:
            continue
        # 将组内元素调整到相同值
        sorted_group = sorted(group)
        median = sorted_group[len(sorted_group) // 2]
        # 计算操作次数
        ops = sum(abs(x - median) // k for x in sorted_group)
        total_ops += ops
    
    return total_ops

步骤8：复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log n)，主要来自排序操作
• 空间复杂度：O(n)，用于存储分组结果

总结
这个问题展示了如何将连续操作问题转化为差分数组问题，进而通过分组和数学分析找到最优解。关键洞察是认识到操作在模k意义下的特殊性质，以及如何利用中位数性质最小化操作次数。