其中 $ P = A^{-1} U $，$ Q = V^T $。  

 这里 $ I + V^T A^{-1} U $ 是 $ k \times k $ 矩阵。

分块矩阵的Sherman-Morrison-Woodbury公式求逆算法 题目描述 假设我们有一个已知逆矩阵 \( A^{-1} \) 的 \( n \times n \) 可逆矩阵 \( A \)，现需对 \( A \) 进行低秩修正，得到新矩阵 \( B = A + U V^T \)，其中 \( U \) 是 \( n \times k \) 矩阵，\( V \) 是 \( n \times k \) 矩阵（通常 \( k \ll n \)）。Sherman-Morrison-Woodbury（SMW）公式提供了一种高效计算 \( B^{-1} \) 的方法，避免直接对 \( B \) 求逆（复杂度 \( O(n^3) \)），而是利用 \( A^{-1} \) 和低维矩阵运算（复杂度 \( O(k^2n + k^3) \)）快速求解。 解题过程 问题分析 直接求 \( B^{-1} \) 需要 \( O(n^3) \) 计算量，当 \( n \) 很大时成本高昂。 SMW 公式将问题转化为求 \( k \times k \) 矩阵的逆（\( k \ll n \)），显著降低计算复杂度。 公式的推导基于分块矩阵求逆和恒等式变换。 公式推导 从恒等式出发： \[ B = A + U V^T = A (I + A^{-1} U V^T) \] 利用矩阵求逆引理：若 \( I + P Q \) 可逆，则 \[ (I + P Q)^{-1} = I - P (I + Q P)^{-1} Q \] 其中 \( P = A^{-1} U \)，\( Q = V^T \)。 代入恒等式： \[ B^{-1} = (I + A^{-1} U V^T)^{-1} A^{-1} = A^{-1} - A^{-1} U (I + V^T A^{-1} U)^{-1} V^T A^{-1} \] 这里 \( I + V^T A^{-1} U \) 是 \( k \times k \) 矩阵。 算法步骤 输入 ：\( A^{-1} \)、\( U \)、\( V \)（\( k \ll n \)）。 步骤1 ：计算 \( P = A^{-1} U \)（矩阵乘法，复杂度 \( O(n^2 k) \)）。 步骤2 ：计算 \( Q = V^T P \)（即 \( V^T A^{-1} U \)，复杂度 \( O(n k^2) \)）。 步骤3 ：构造 \( k \times k \) 矩阵 \( M = I_ k + Q \)，并求逆 \( M^{-1} \)（复杂度 \( O(k^3) \)）。 步骤4 ：计算 \( B^{-1} = A^{-1} - P M^{-1} V^T A^{-1} \)（通过组合矩阵乘法，复杂度 \( O(n^2 k) \)）。 总复杂度 ：\( O(n^2 k + k^3) \)，远优于 \( O(n^3) \)。 数值稳定性考虑 当 \( A \) 条件数较大时，\( A^{-1} \) 的误差可能放大。建议使用数值稳定的矩阵分解（如LU分解）隐式计算 \( A^{-1} U \) 和 \( V^T A^{-1} \)。 若 \( M \) 接近奇异，需采用正则化或截断策略。 应用场景 动态系统参数更新（如卡尔曼滤波）。 机器学习中的在线学习（如线性回归的增量更新）。 有限元分析中的局部矩阵修正。 通过SMW公式，我们实现了高效、低复杂度的矩阵逆更新，特别适用于大规模稀疏或结构化矩阵的低秩修正场景。