分块矩阵的Cholesky分解算法

题目描述：
给定一个大规模对称正定矩阵 \(A\)，其分块形式为：

\[A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \]

其中 \(A_{11}\) 是 \(p \times p\) 的子矩阵（\(p \ll n\)，\(n\) 是 \(A\) 的总维度），且 \(A_{11}\) 对称正定。要求利用分块结构，设计Cholesky分解算法，将 \(A\) 分解为 \(A = LL^T\)，其中 \(L\) 是下三角分块矩阵。分块策略需减少计算复杂度，并支持并行处理。

解题过程：

1. 分块Cholesky分解的基本形式
   设分解后的 \(L\) 为：

\[ L = \begin{bmatrix} L_{11} & 0 \\ L_{21} & L_{22} \end{bmatrix}, \]

其中 \(L_{11}\) 是 \(p \times p\) 下三角矩阵，\(L_{22}\) 是 \((n-p) \times (n-p)\) 下三角矩阵。根据 \(A = LL^T\)，展开得：

\[ \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{11}L_{11}^T & L_{11}L_{21}^T \\ L_{21}L_{11}^T & L_{21}L_{21}^T + L_{22}L_{22}^T \end{bmatrix}. \]

2. 分步求解子矩阵

   • 步骤1：分解 \(A_{11}\)
     由 \(A_{11} = L_{11}L_{11}^T\)，对 \(A_{11}\) 执行标准Cholesky分解（非分块算法），得到下三角矩阵 \(L_{11}\)。
     示例：若 \(A_{11} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\)，则 \(L_{11} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)。

   • 步骤2：求解 \(L_{21}\)
     由 \(A_{21} = L_{21}L_{11}^T\)，解方程 \(L_{21}L_{11}^T = A_{21}\)。因为 \(L_{11}^T\) 是上三角矩阵，可通过前向替换（forward substitution）逐列求解 \(L_{21}\)：
     设 \(L_{21}^T = X\)，解 \(L_{11}X = A_{21}^T\)，再转置得 \(L_{21} = X^T\)。
     复杂度：\(O(p^2(n-p))\)，优于直接分解的 \(O(n^3)\)。

   • 步骤3：更新Schur补并分解 \(L_{22}\)
     计算Schur补 \(S = A_{22} - L_{21}L_{21}^T\)，然后对 \(S\) 递归执行分块Cholesky分解：\(S = L_{22}L_{22}^T\)。
     关键点：\(S\) 保持对称正定性，确保递归可行。

3. 算法伪代码

   function BlockCholesky(A, n, p):
     if n == 1:
         return [sqrt(A)]
     将A分块为 [[A11, A12], [A21, A22]]，其中A11为p×p
     L11 = Cholesky(A11)           # 标准分解
     L21 = solve(L11, A21)        # L21 = A21 * inv(L11^T)
     S = A22 - L21 * L21^T        # Schur补
     L22 = BlockCholesky(S, n-p, min(p, n-p))  # 递归
     return [[L11, 0], [L21, L22]]
   

4. 复杂度与优势

   • 复杂度：递归深度为 \(O(n/p)\)，每层计算量主要来自矩阵乘法（\(O(p^2(n-p))\)），总复杂度仍为 \(O(n^3)\)，但常数更优。
   • 并行性：\(L_{21}\) 的列计算相互独立，Schur补更新可并行化。
   • 缓存友好：分块减少内存访问次数，提升大型矩阵计算效率。

5. 数值稳定性
   由于 \(A\) 对称正定，Schur补 \(S\) 亦正定，算法无条件稳定（无选主元需求）。

总结：分块Cholesky通过递归分解Schur补，将大规模问题分解为小规模子问题，兼顾效率与稳定性，适用于科学计算中的大规模线性方程组求解。