推导依据：要求公式对次数低于 $ 2n $ 的多项式精确成立，通过拉格朗日插值多项式积分可得权重。

高斯-埃尔米特求积公式的构造与多项式精度分析 题目描述 高斯-埃尔米特求积公式用于计算形如 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \) 的积分，其中权函数为 \( w(x) = e^{-x^2} \)。该公式的节点是埃尔米特多项式的零点，权重由特定规则确定。要求分析其构造过程，并解释为何具有最高可能的代数精度。 解题过程 问题背景 高斯型求积公式的目标是用加权和 \( \sum_ {i=1}^n w_ i f(x_ i) \) 近似积分 \( \int_ a^b w(x) f(x) \, dx \)，其中节点 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \) 通过优化选择，使公式对尽可能高次的多项式精确成立。 对于高斯-埃尔米特公式，区间为 \( (-\infty, \infty) \)，权函数 \( w(x) = e^{-x^2} \)。 埃尔米特多项式的关键作用 埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 是权函数 \( e^{-x^2} \) 下的正交多项式族，满足： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} H_ m(x) H_ n(x) \, dx = 0 \quad (m \neq n). \] 节点 \( x_ i \) 选为 \( H_ n(x) \) 的 \( n \) 个实根（必存在且互异），权重 \( w_ i \) 由积分条件确定。 权重计算 权重公式为： \[ w_ i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [ H_ {n-1}(x_ i) ]^2}. \] 推导依据：要求公式对次数低于 \( 2n \) 的多项式精确成立，通过拉格朗日插值多项式积分可得权重。 多项式精度分析 关键定理 ：\( n \) 点高斯-埃尔米特公式的代数精度为 \( 2n-1 \)。 证明思路 ： 若 \( f(x) \) 是次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式，可写为 \( f(x) = q(x) H_ n(x) + r(x) \)，其中 \( q(x) \) 和 \( r(x) \) 次数均 \( \leq n-1 \)。 由于 \( H_ n(x) \) 与所有次数 \( < n \) 的多项式正交，积分项 \( \int e^{-x^2} q(x) H_ n(x) \, dx = 0 \)。 剩余项 \( r(x) \) 次数 \( \leq n-1 \)，可由 \( n \) 个节点精确插值，因此求积公式精确成立。 对于次数 \( 2n \) 的多项式（如 \( [ H_ n(x)]^2 \)），公式不精确，因积分值为正但求积和为零（节点处 \( H_ n(x_ i) = 0 \)）。 举例说明 以 \( n=2 \) 为例： 埃尔米特多项式 \( H_ 2(x) = 4x^2 - 2 \)，根为 \( x_ {1,2} = \pm \sqrt{1/2} \)。 权重 \( w_ 1 = w_ 2 = \sqrt{\pi}/2 \)。 验证 \( f(x) = x^3 \)（次数 \( 3 = 2n-1 \)）：积分 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} x^3 \, dx = 0 \)，求积和 \( w_ 1 x_ 1^3 + w_ 2 x_ 2^3 = 0 \)，精确成立。 总结 高斯-埃尔米特公式通过正交多项式的根确定节点，权重由精度条件推导，最终实现 \( 2n-1 \) 次代数精度。此构造方法可推广至其他权函数的高斯型公式。