基于线性规划的图最小顶点覆盖问题求解示例
字数 1820 2025-11-02 11:43:41

基于线性规划的图最小顶点覆盖问题求解示例

题目描述
最小顶点覆盖问题是图论中的经典NP难问题：给定一个无向图 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是顶点集，\(E\) 是边集，目标是找到一个顶点子集 \(S \subseteq V\)，使得图中每条边至少有一个端点属于 \(S\)，同时最小化 \(S\) 的大小（即顶点数量）。若将问题转化为线性规划（LP）形式，可通过松弛整数约束得到近似解，进而分析其理论性质。

解题过程

  1. 问题建模
    对每个顶点 \(i \in V\)，引入二进制变量 \(x_i \in \{0,1\}\)：
    • \(x_i = 1\) 表示顶点 \(i\) 被选入覆盖集 \(S\)；
    • \(x_i = 0\) 表示未被选中。
      目标函数为最小化覆盖集大小：

\[ \min \sum_{i \in V} x_i \]

约束条件要求每条边 \((u,v) \in E\) 至少有一个端点被覆盖：

\[ x_u + x_v \geq 1 \quad \forall (u,v) \in E \]

此时问题是一个整数规划（IP）。

  1. 线性规划松弛
    将整数约束 \(x_i \in \{0,1\}\) 松弛为连续约束 \(0 \leq x_i \leq 1\)，得到LP问题：

\[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_{i \in V} x_i \\ \text{s.t.} \quad & x_u + x_v \geq 1 \quad \forall (u,v) \in E \\ & 0 \leq x_i \leq 1 \quad \forall i \in V \end{aligned} \]

该LP的最优解提供了原IP问题的下界（因为松弛后可行域扩大）。

  1. 求解LP与近似算法设计

    • 使用单纯形法或内点法求解上述LP，得到最优解 \(x^*\)。
    • 设计近似算法：将LP解四舍五入为整数解。具体地，构造覆盖集 \(S = \{ i \in V \mid x_i^* \geq 0.5 \}\)。
    • 可行性证明：对任意边 \((u,v)\)，因 \(x_u^* + x_v^* \geq 1\)，至少有一个端点满足 \(x_i^* \geq 0.5\)，故 \(S\) 是合法顶点覆盖。
    • 近似比分析：
      设LP最优值为 \(\text{OPT}_{\text{LP}}\)，整数解的成本为 \(\sum_{i \in S} 1\)。由于 \(x_i^* \geq 0.5\) 的顶点才被选入，有 \(|S| \leq 2 \sum_{i \in V} x_i^* = 2 \cdot \text{OPT}_{\text{LP}}\)。又因 \(\text{OPT}_{\text{LP}} \leq \text{OPT}_{\text{IP}}\)（原问题最优值），故近似比不超过 2。

  2. 实例演示
    考虑图 \(G\) 有顶点集 \(V = \{1,2,3\}\) 和边集 \(E = \{(1,2), (2,3), (1,3)\}\)（三角形图）。

    • LP模型：

\[ \begin{aligned} \min \quad & x_1 + x_2 + x_3 \\ \text{s.t.} \quad & x_1 + x_2 \geq 1, \quad x_2 + x_3 \geq 1, \quad x_1 + x_3 \geq 1 \\ & 0 \leq x_i \leq 1 \end{aligned} \]

  • 求解得最优解 \(x_1^* = x_2^* = x_3^* = 0.5\)，目标值 \(\text{OPT}_{\text{LP}} = 1.5\)。
  • 四舍五入后得 \(S = \{1,2,3\}\)，大小为 3。而实际最小顶点覆盖可为任意两个顶点（如 \(\{1,2\}\)），大小为 2，验证了近似比界限。

总结
通过LP松弛和四舍五入策略，可在多项式时间内得到最小顶点覆盖的2-近似解，体现了线性规划在近似算法设计中的重要作用。

基于线性规划的图最小顶点覆盖问题求解示例 题目描述 最小顶点覆盖问题是图论中的经典NP难问题：给定一个无向图 \( G = (V, E) \)，其中 \( V \) 是顶点集，\( E \) 是边集，目标是找到一个顶点子集 \( S \subseteq V \)，使得图中每条边至少有一个端点属于 \( S \)，同时最小化 \( S \) 的大小（即顶点数量）。若将问题转化为线性规划（LP）形式，可通过松弛整数约束得到近似解，进而分析其理论性质。 解题过程 问题建模 对每个顶点 \( i \in V \)，引入二进制变量 \( x_ i \in \{0,1\} \)： \( x_ i = 1 \) 表示顶点 \( i \) 被选入覆盖集 \( S \)； \( x_ i = 0 \) 表示未被选中。 目标函数为最小化覆盖集大小： \[ \min \sum_ {i \in V} x_ i \] 约束条件要求每条边 \( (u,v) \in E \) 至少有一个端点被覆盖： \[ x_ u + x_ v \geq 1 \quad \forall (u,v) \in E \] 此时问题是一个整数规划（IP）。 线性规划松弛 将整数约束 \( x_ i \in \{0,1\} \) 松弛为连续约束 \( 0 \leq x_ i \leq 1 \)，得到LP问题： \[ \begin{aligned} \min \quad & \sum_ {i \in V} x_ i \\ \text{s.t.} \quad & x_ u + x_ v \geq 1 \quad \forall (u,v) \in E \\ & 0 \leq x_ i \leq 1 \quad \forall i \in V \end{aligned} \] 该LP的最优解提供了原IP问题的下界（因为松弛后可行域扩大）。 求解LP与近似算法设计 使用单纯形法或内点法求解上述LP，得到最优解 \( x^* \)。 设计近似算法：将LP解四舍五入为整数解。具体地，构造覆盖集 \( S = \{ i \in V \mid x_ i^* \geq 0.5 \} \)。 可行性证明 ：对任意边 \( (u,v) \)，因 \( x_ u^* + x_ v^* \geq 1 \)，至少有一个端点满足 \( x_ i^* \geq 0.5 \)，故 \( S \) 是合法顶点覆盖。 近似比分析 ： 设LP最优值为 \( \text{OPT} {\text{LP}} \)，整数解的成本为 \( \sum {i \in S} 1 \)。由于 \( x_ i^* \geq 0.5 \) 的顶点才被选入，有 \( |S| \leq 2 \sum_ {i \in V} x_ i^* = 2 \cdot \text{OPT} {\text{LP}} \)。又因 \( \text{OPT} {\text{LP}} \leq \text{OPT}_ {\text{IP}} \)（原问题最优值），故近似比不超过 2。 实例演示 考虑图 \( G \) 有顶点集 \( V = \{1,2,3\} \) 和边集 \( E = \{(1,2), (2,3), (1,3)\} \)（三角形图）。 LP模型： \[ \begin{aligned} \min \quad & x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 \\ \text{s.t.} \quad & x_ 1 + x_ 2 \geq 1, \quad x_ 2 + x_ 3 \geq 1, \quad x_ 1 + x_ 3 \geq 1 \\ & 0 \leq x_ i \leq 1 \end{aligned} \] 求解得最优解 \( x_ 1^* = x_ 2^* = x_ 3^* = 0.5 \)，目标值 \( \text{OPT}_ {\text{LP}} = 1.5 \)。 四舍五入后得 \( S = \{1,2,3\} \)，大小为 3。而实际最小顶点覆盖可为任意两个顶点（如 \( \{1,2\} \)），大小为 2，验证了近似比界限。 总结 通过LP松弛和四舍五入策略，可在多项式时间内得到最小顶点覆盖的2-近似解，体现了线性规划在近似算法设计中的重要作用。