最长公共子序列的变种：带字符替换限制的最长公共子序列
字数 856 2025-11-02 10:11:13
最长公共子序列的变种：带字符替换限制的最长公共子序列
题目描述：
给定两个字符串s和t，以及一个整数k。我们需要找到s和t的一个最长公共子序列（LCS），但是允许在匹配过程中进行字符替换操作，且最多只能进行k次替换。每次替换可以将s中的一个字符替换为t中对应位置的字符（在匹配时），使得它们匹配。注意，替换操作只影响匹配过程，不实际修改原字符串。求在最多k次替换的限制下，s和t的最长公共子序列的长度。
解题过程：
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问题分析：
- 这是LCS问题的变种，增加了替换操作的限制。
- 我们需要记录已经使用的替换次数，因此状态定义需要增加一维。
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状态定义：
- 定义dp[i][j][r]表示考虑s的前i个字符和t的前j个字符，在使用不超过r次替换的情况下，能获得的最长公共子序列长度。
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状态转移：
- 当s[i] == t[j]时：
- 匹配这两个字符，不需要替换：dp[i][j][r] = dp[i-1][j-1][r] + 1
- 当s[i] != t[j]时：
- 选择不匹配s[i]：dp[i][j][r] = dp[i-1][j][r]
- 选择不匹配t[j]：dp[i][j][r] = dp[i][j-1][r]
- 如果r > 0，可以选择替换s[i]为t[j]（或反之）来匹配：
dp[i][j][r] = dp[i-1][j-1][r-1] + 1
- 当s[i] == t[j]时：
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初始化：
- dp[0][j][r] = 0（空字符串与任何字符串的LCS为0）
- dp[i][0][r] = 0
- dp[0][0][r] = 0
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最终答案：
- max{dp[n][m][r]}，其中0 ≤ r ≤ k，n和m分别是s和t的长度
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复杂度分析：
- 时间复杂度：O(n×m×k)
- 空间复杂度：O(n×m×k)，可通过滚动数组优化到O(m×k)
这个算法通过增加状态维度来记录替换次数，在标准的LCS基础上考虑了字符替换的情况，解决了带替换限制的LCS问题。