高斯-拉盖尔求积公式在核物理反应截面积分中的应用
字数 2451 2025-11-02 10:11:13

高斯-拉盖尔求积公式在核物理反应截面积分中的应用

题目描述
在核物理中，计算反应截面常涉及形如 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-E} \sigma(E) \, dE\) 的积分，其中 \(E\) 为粒子能量，\(\sigma(E)\) 为反应截面函数（可能包含共振峰或振荡行为）。这类积分在无穷区间上且被指数函数 \(e^{-E}\) 衰减，适合用高斯-拉盖尔求积公式高效计算。要求：

  1. 解释高斯-拉盖尔公式如何匹配此类积分的权函数 \(e^{-E}\)；
  2. 推导公式的节点（拉盖尔多项式零点）和权重；
  3. 讨论如何通过变换处理非标准权函数或奇异点；
  4. 给出一个核物理实例的数值计算过程。

解题过程

1. 高斯-拉盖尔公式的权函数匹配
高斯-拉盖尔求积公式专用于积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx\)，其权函数为 \(w(x) = e^{-x}\)。在核物理积分中，若被积函数为 \(e^{-E} \sigma(E)\)，直接令 \(x = E\)，则积分转化为标准形式：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sigma(x) \, dx. \]

公式的节点 \(x_i\) 是拉盖尔多项式 \(L_n(x)\) 的零点，权重 \(w_i\) 由正交性确定，使得公式对 \(2n-1\) 次多项式精确成立。

2. 节点与权重的推导
步骤1：拉盖尔多项式的正交性
拉盖尔多项式 \(\{ L_n(x) \}\) 在区间 \([0, \infty)\) 上关于权函数 \(e^{-x}\) 正交：

\[\int_{0}^{\infty} e^{-x} L_m(x) L_n(x) \, dx = \delta_{mn}. \]

首几个多项式为：

  • \(L_0(x) = 1\)
  • \(L_1(x) = 1 - x\)
  • \(L_2(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 2)\)

步骤2：求积公式构造
对于 \(n\) 点公式，节点 \(x_i\) 是 \(L_n(x) = 0\) 的根（例如 \(n=2\) 时，\(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2}\)）。权重 \(w_i\) 由公式确定：

\[w_i = \frac{1}{L_n'(x_i) \int_{0}^{\infty} e^{-x} L_n(x) \, dx} = \frac{x_i}{(n+1)^2 [L_{n+1}(x_i)]^2}. \]

实际计算中，节点和权重常查表或通过数值方法（如牛顿迭代）求解。

3. 非标准情形的变换技巧
若积分形式为 \(\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha E} \sigma(E) \, dE\)（\(\alpha \neq 1\)），令 \(x = \alpha E\)，则：

\[I = \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sigma\left(\frac{x}{\alpha}\right) dx. \]

此时需计算 \(\sigma(x/\alpha)\) 在拉盖尔节点 \(x_i\) 处的值。
若 \(\sigma(E)\) 在 \(E=0\) 有奇点，可结合变量替换（如 \(E = t^2\)）平滑化处理。

4. 核物理实例计算
假设反应截面为 Breit-Wigner 形式：

\[\sigma(E) = \frac{A}{(E - E_0)^2 + \Gamma^2/4}, \]

其中 \(A=1\), \(E_0=2\), \(\Gamma=0.5\)，计算 \(I = \int_{0}^{\infty} e^{-E} \sigma(E) \, dE\)。

步骤1：选择节点数
取 \(n=3\)，拉盖尔多项式 \(L_3(x) = \frac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6)\)，其零点为：

\[x_1 \approx 0.4158, \quad x_2 \approx 2.2943, \quad x_3 \approx 6.2899. \]

对应权重（查表）：

\[w_1 \approx 0.7111, \quad w_2 \approx 0.2785, \quad w_3 \approx 0.01039. \]

步骤2：计算函数值
在节点处计算 \(\sigma(x_i)\)：

  • \(\sigma(x_1) = \frac{1}{(0.4158-2)^2 + 0.0625} \approx 0.255\)
  • \(\sigma(x_2) = \frac{1}{(2.2943-2)^2 + 0.0625} \approx 15.69\)
  • \(\sigma(x_3) \approx 0.023\)

步骤3：近似积分

\[I \approx \sum_{i=1}^{3} w_i \sigma(x_i) = 0.7111 \times 0.255 + 0.2785 \times 15.69 + 0.01039 \times 0.023 \approx 4.59. \]

与精确值（数值积分验证）对比，误差随 \(n\) 增大而减小。

关键点总结

  • 高斯-拉盖尔公式通过权函数 \(e^{-x}\) 自然匹配核物理积分的衰减特性；
  • 节点和权重由拉盖尔多项式的正交性决定，保证高代数精度；
  • 通过变量变换可处理非标准参数或奇异性，提升适用性。
高斯-拉盖尔求积公式在核物理反应截面积分中的应用 题目描述 在核物理中，计算反应截面常涉及形如 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-E} \sigma(E) \, dE \) 的积分，其中 \( E \) 为粒子能量，\( \sigma(E) \) 为反应截面函数（可能包含共振峰或振荡行为）。这类积分在无穷区间上且被指数函数 \( e^{-E} \) 衰减，适合用高斯-拉盖尔求积公式高效计算。要求： 解释高斯-拉盖尔公式如何匹配此类积分的权函数 \( e^{-E} \)； 推导公式的节点（拉盖尔多项式零点）和权重； 讨论如何通过变换处理非标准权函数或奇异点； 给出一个核物理实例的数值计算过程。 解题过程 1. 高斯-拉盖尔公式的权函数匹配 高斯-拉盖尔求积公式专用于积分 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \)，其权函数为 \( w(x) = e^{-x} \)。在核物理积分中，若被积函数为 \( e^{-E} \sigma(E) \)，直接令 \( x = E \)，则积分转化为标准形式： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sigma(x) \, dx. \] 公式的节点 \( x_ i \) 是拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的零点，权重 \( w_ i \) 由正交性确定，使得公式对 \( 2n-1 \) 次多项式精确成立。 2. 节点与权重的推导 步骤1：拉盖尔多项式的正交性 拉盖尔多项式 \( \{ L_ n(x) \} \) 在区间 \( [ 0, \infty) \) 上关于权函数 \( e^{-x} \) 正交： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} L_ m(x) L_ n(x) \, dx = \delta_ {mn}. \] 首几个多项式为： \( L_ 0(x) = 1 \) \( L_ 1(x) = 1 - x \) \( L_ 2(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 2) \) 步骤2：求积公式构造 对于 \( n \) 点公式，节点 \( x_ i \) 是 \( L_ n(x) = 0 \) 的根（例如 \( n=2 \) 时，\( x_ {1,2} = 2 \pm \sqrt{2} \)）。权重 \( w_ i \) 由公式确定： \[ w_ i = \frac{1}{L_ n'(x_ i) \int_ {0}^{\infty} e^{-x} L_ n(x) \, dx} = \frac{x_ i}{(n+1)^2 [ L_ {n+1}(x_ i) ]^2}. \] 实际计算中，节点和权重常查表或通过数值方法（如牛顿迭代）求解。 3. 非标准情形的变换技巧 若积分形式为 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-\alpha E} \sigma(E) \, dE \)（\( \alpha \neq 1 \)），令 \( x = \alpha E \)，则： \[ I = \frac{1}{\alpha} \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sigma\left(\frac{x}{\alpha}\right) dx. \] 此时需计算 \( \sigma(x/\alpha) \) 在拉盖尔节点 \( x_ i \) 处的值。 若 \( \sigma(E) \) 在 \( E=0 \) 有奇点，可结合变量替换（如 \( E = t^2 \)）平滑化处理。 4. 核物理实例计算 假设反应截面为 Breit-Wigner 形式： \[ \sigma(E) = \frac{A}{(E - E_ 0)^2 + \Gamma^2/4}, \] 其中 \( A=1 \), \( E_ 0=2 \), \( \Gamma=0.5 \)，计算 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-E} \sigma(E) \, dE \)。 步骤1：选择节点数 取 \( n=3 \)，拉盖尔多项式 \( L_ 3(x) = \frac{1}{6}(-x^3 + 9x^2 - 18x + 6) \)，其零点为： \[ x_ 1 \approx 0.4158, \quad x_ 2 \approx 2.2943, \quad x_ 3 \approx 6.2899. \] 对应权重（查表）： \[ w_ 1 \approx 0.7111, \quad w_ 2 \approx 0.2785, \quad w_ 3 \approx 0.01039. \] 步骤2：计算函数值 在节点处计算 \( \sigma(x_ i) \)： \( \sigma(x_ 1) = \frac{1}{(0.4158-2)^2 + 0.0625} \approx 0.255 \) \( \sigma(x_ 2) = \frac{1}{(2.2943-2)^2 + 0.0625} \approx 15.69 \) \( \sigma(x_ 3) \approx 0.023 \) 步骤3：近似积分 \[ I \approx \sum_ {i=1}^{3} w_ i \sigma(x_ i) = 0.7111 \times 0.255 + 0.2785 \times 15.69 + 0.01039 \times 0.023 \approx 4.59. \] 与精确值（数值积分验证）对比，误差随 \( n \) 增大而减小。 关键点总结 高斯-拉盖尔公式通过权函数 \( e^{-x} \) 自然匹配核物理积分的衰减特性； 节点和权重由拉盖尔多项式的正交性决定，保证高代数精度； 通过变量变换可处理非标准参数或奇异性，提升适用性。