高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的权函数归一化处理 题目描述 考虑带权积分问题： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \] 其中 \( f(x) \) 是光滑函数。高斯-切比雪夫求积公式利用切比雪夫多项式的正交性，将积分近似为： \[ I \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k f(x_ k) \] 但标准公式中的权值 \( w_ k = \pi/n \) 是归一化后的结果。本题要求详细解释权函数 \( \omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \) 的归一化过程，并说明如何通过变量替换确保求积公式的精度。 解题过程 1. 权函数与正交多项式的关系 切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \) 在区间 \([ -1,1 ]\) 上关于权函数 \( \omega(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \) 正交： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{T_ m(x) T_ n(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \begin{cases} 0 & m \neq n \\ \pi & m = n = 0 \\ \pi/2 & m = n \geq 1 \end{cases} \] 正交性要求权函数满足归一化条件：积分 \( \int_ {-1}^{1} \omega(x) \, dx = \pi \)（而非1）。这是因为： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \pi \] 此处的 \( \pi \) 是权函数自身的积分值，需在求积公式中显式处理。 2. 高斯求积公式的通用形式 对于一般带权积分 \( \int_ a^b \omega(x) f(x) \, dx \)，高斯求积公式为： \[ \int_ a^b \omega(x) f(x) \, dx \approx \sum_ {k=1}^n w_ k f(x_ k) \] 节点 \( x_ k \) 是正交多项式的根，权值 \( w_ k \) 由条件“公式对次数 \( \leq 2n-1 \) 的多项式精确成立”确定。 特别地，若权函数未归一化（即 \( \int_ a^b \omega(x) \, dx \neq 1 \)），需调整权值计算。 3. 切比雪夫权函数的归一化处理 直接应用高斯求积理论时，权值公式为： \[ w_ k = \int_ {-1}^{1} \omega(x) \ell_ k(x) \, dx \] 其中 \( \ell_ k(x) \) 是拉格朗日基多项式。 由于 \( \int_ {-1}^{1} \omega(x) \, dx = \pi \)，需将权函数归一化为 \( \tilde{\omega}(x) = \omega(x)/\pi \)，使 \( \int_ {-1}^{1} \tilde{\omega}(x) \, dx = 1 \)。 归一化后的积分变为： \[ I = \pi \int_ {-1}^{1} \tilde{\omega}(x) f(x) \, dx \] 此时可直接应用标准高斯求积公式，得到： \[ I \approx \pi \sum_ {k=1}^n \tilde{w}_ k f(x_ k) \] 其中 \( \tilde{w}_ k \) 对应归一化权函数 \( \tilde{\omega}(x) \)。 4. 切比雪夫求积公式的简化结果 对于切比雪夫多项式，节点 \( x_ k = \cos\left( \frac{(2k-1)\pi}{2n} \right) \) 是 \( T_ n(x) \) 的根。 通过计算可得 \( \tilde{w} k = 1/n \)，因此原积分的近似公式为： \[ I \approx \frac{\pi}{n} \sum {k=1}^n f(x_ k) \] 最终权值 \( w_ k = \pi/n \) 已隐含归一化因子 \( \pi \)，确保公式对 \( f(x) \equiv 1 \) 时精确成立（积分值为 \( \pi \)）。 5. 验证与误差分析 若 \( f(x) = 1 \)，公式给出： \[ \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^n 1 = \pi \] 与精确值一致。 误差由 \( f(x) \) 的平滑性决定：若 \( f(x) \) 可解析延拓到复平面椭圆区域，误差以指数速度收敛。 总结 权函数归一化是确保高斯求积公式结构简洁的关键步骤。通过显式处理归一化因子，可避免权值计算中的混淆，并直接得到标准的高斯-切比雪夫公式。