基于线性规划的鲁棒优化投资组合模型求解示例

字数 2882 2025-11-02 10:11:13

基于线性规划的鲁棒优化投资组合模型求解示例

题目描述
假设投资者希望分配资金到3种资产（股票A、B、C），每种资产的预期收益率存在不确定性。已知：

预期收益率可能在一定区间内波动（例如，股票A的收益率在[0.08, 0.12]之间）。
投资者希望在最坏情况下（即实际收益率尽可能低时）最大化投资组合的收益。
总资金为1单位，投资比例非负，且需满足总比例和为1。

这是一个鲁棒优化问题，其核心是将不确定性转化为确定性模型，通过线性规划方法求解。

解题过程

1. 问题建模

设决策变量 \(x_1, x_2, x_3\) 分别表示投资到股票A、B、C的比例。目标是在最坏情况下最大化收益，即：

\[\max_{x} \min_{r \in \mathcal{U}} \left( r_1 x_1 + r_2 x_2 + r_3 x_3 \right) \]

其中不确定集 \(\mathcal{U}\) 定义为：

\[\mathcal{U} = \left\{ (r_1, r_2, r_3) \mid r_1 \in [0.08, 0.12],\ r_2 \in [0.06, 0.10],\ r_3 \in [0.04, 0.08] \right\} \]

约束条件为：

\[x_1 + x_2 + x_3 = 1, \quad x_i \geq 0 \ (i=1,2,3) \]

2. 鲁棒优化转化

由于目标函数包含内层最小化问题，直接求解困难。鲁棒优化的常用技巧是对偶转化：

内层问题：对固定的 \(x\)，最小化 \(r^\top x\) over \(r \in \mathcal{U}\)。
不确定集 \(\mathcal{U}\) 是区间集合，内层问题可分解为独立的最小化：

\[\min_{r_i \in [\underline{r}_i, \bar{r}_i]} r_i x_i = \underline{r}_i x_i \quad (\text{若 } x_i \geq 0) \]

因此，原问题等价于：

\[\max_{x} \left( 0.08x_1 + 0.06x_2 + 0.04x_3 \right) \]

但这样过于保守（直接采用最低收益率）。更精细的鲁棒优化可引入预算不确定性集（Budgets of Uncertainty），限制总体不确定性程度。

3. 引入预算不确定性集

假设实际收益率 \(r_i = \bar{r}_i - \zeta_i \Delta_i\)，其中：

名义值 \(\bar{r}_1=0.12, \bar{r}_2=0.10, \bar{r}_3=0.08\)；
偏差 \(\Delta_1=0.04, \Delta_2=0.04, \Delta_3=0.04\)；
\(\zeta_i \in [0,1]\) 表示不确定性的比例，且满足 \(\zeta_1 + \zeta_2 + \zeta_3 \leq \Gamma\)（预算参数）。

内层问题变为：

\[\min_{\zeta} \left( \sum_{i=1}^3 (\bar{r}_i - \zeta_i \Delta_i) x_i \right), \quad \text{s.t. } 0 \leq \zeta_i \leq 1,\ \sum_i \zeta_i \leq \Gamma \]

取 \(\Gamma=1.5\) 表示允许1.5个资产达到最大偏差。

4. 对偶化内层问题

将内层问题写为线性规划：

\[\begin{aligned} \min_{\zeta} \quad & \sum_i \bar{r}_i x_i - \sum_i \zeta_i \Delta_i x_i \\ \text{s.t.} \quad & \zeta_i \leq 1 \\ & \sum_i \zeta_i \leq \Gamma \\ & \zeta_i \geq 0 \end{aligned} \]

其对偶问题为（变量 \(p_i \geq 0, q \geq 0\)）：

\[\begin{aligned} \max_{p,q} \quad & \sum_i \bar{r}_i x_i - \sum_i p_i - \Gamma q \\ \text{s.t.} \quad & p_i + q \geq \Delta_i x_i \quad \forall i \\ & p_i \geq 0, q \geq 0 \end{aligned} \]

原问题转化为单层优化：

\[\begin{aligned} \max_{x,p,q} \quad & \sum_i \bar{r}_i x_i - \sum_i p_i - \Gamma q \\ \text{s.t.} \quad & p_i + q \geq \Delta_i x_i \quad \forall i \\ & \sum_i x_i = 1, \quad x_i \geq 0 \\ & p_i \geq 0, q \geq 0 \end{aligned} \]

5. 代入数值求解

代入数据：

\[\begin{aligned} \max \quad & 0.12x_1 + 0.10x_2 + 0.08x_3 - p_1 - p_2 - p_3 - 1.5q \\ \text{s.t.} \quad & p_1 + q \geq 0.04x_1 \\ & p_2 + q \geq 0.04x_2 \\ & p_3 + q \geq 0.04x_3 \\ & x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ & x_i, p_i, q \geq 0 \end{aligned} \]

使用单纯形法求解（略去计算细节），得到鲁棒最优解：

\[x_1 \approx 0.5, \quad x_2 \approx 0.5, \quad x_3 \approx 0, \quad \text{目标值} \approx 0.09 \]

说明在不确定性预算下，应平均分配股票A和B，放弃C。

6. 结果分析

若 \(\Gamma=0\)（完全乐观），解为全投A（收益0.12）；
若 \(\Gamma=3\)（完全悲观），解为全投C（收益0.04）；
\(\Gamma=1.5\) 时平衡风险与收益，目标值0.09高于最坏情况0.04，但低于名义值0.12。

该方法通过线性规划巧妙处理了不确定性，体现了鲁棒优化的核心思想。

基于线性规划的鲁棒优化投资组合模型求解示例题目描述假设投资者希望分配资金到3种资产（股票A、B、C），每种资产的预期收益率存在不确定性。已知：预期收益率可能在一定区间内波动（例如，股票A的收益率在[ 0.08, 0.12 ]之间）。投资者希望在最坏情况下（即实际收益率尽可能低时）最大化投资组合的收益。总资金为1单位，投资比例非负，且需满足总比例和为1。这是一个鲁棒优化问题，其核心是将不确定性转化为确定性模型，通过线性规划方法求解。解题过程 1. 问题建模设决策变量 \( x_ 1, x_ 2, x_ 3 \) 分别表示投资到股票A、B、C的比例。目标是在最坏情况下最大化收益，即： \[ \max_ {x} \min_ {r \in \mathcal{U}} \left( r_ 1 x_ 1 + r_ 2 x_ 2 + r_ 3 x_ 3 \right) \] 其中不确定集 \( \mathcal{U} \) 定义为： \[ \mathcal{U} = \left\{ (r_ 1, r_ 2, r_ 3) \mid r_ 1 \in [ 0.08, 0.12],\ r_ 2 \in [ 0.06, 0.10],\ r_ 3 \in [ 0.04, 0.08 ] \right\} \] 约束条件为： \[ x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 = 1, \quad x_ i \geq 0 \ (i=1,2,3) \] 2. 鲁棒优化转化由于目标函数包含内层最小化问题，直接求解困难。鲁棒优化的常用技巧是对偶转化：内层问题：对固定的 \( x \)，最小化 \( r^\top x \) over \( r \in \mathcal{U} \)。不确定集 \( \mathcal{U} \) 是区间集合，内层问题可分解为独立的最小化： \[ \min_ {r_ i \in [ \underline{r}_ i, \bar{r}_ i]} r_ i x_ i = \underline{r} i x_ i \quad (\text{若 } x_ i \geq 0) \] 因此，原问题等价于： \[ \max {x} \left( 0.08x_ 1 + 0.06x_ 2 + 0.04x_ 3 \right) \] 但这样过于保守（直接采用最低收益率）。更精细的鲁棒优化可引入预算不确定性集（Budgets of Uncertainty），限制总体不确定性程度。 3. 引入预算不确定性集假设实际收益率 \( r_ i = \bar{r}_ i - \zeta_ i \Delta_ i \)，其中：名义值 \( \bar{r}_ 1=0.12, \bar{r}_ 2=0.10, \bar{r}_ 3=0.08 \)；偏差 \( \Delta_ 1=0.04, \Delta_ 2=0.04, \Delta_ 3=0.04 \)； \( \zeta_ i \in [ 0,1] \) 表示不确定性的比例，且满足 \( \zeta_ 1 + \zeta_ 2 + \zeta_ 3 \leq \Gamma \)（预算参数）。内层问题变为： \[ \min_ {\zeta} \left( \sum_ {i=1}^3 (\bar{r}_ i - \zeta_ i \Delta_ i) x_ i \right), \quad \text{s.t. } 0 \leq \zeta_ i \leq 1,\ \sum_ i \zeta_ i \leq \Gamma \] 取 \( \Gamma=1.5 \) 表示允许1.5个资产达到最大偏差。 4. 对偶化内层问题将内层问题写为线性规划： \[ \begin{aligned} \min_ {\zeta} \quad & \sum_ i \bar{r} i x_ i - \sum_ i \zeta_ i \Delta_ i x_ i \\ \text{s.t.} \quad & \zeta_ i \leq 1 \\ & \sum_ i \zeta_ i \leq \Gamma \\ & \zeta_ i \geq 0 \end{aligned} \] 其对偶问题为（变量 \( p_ i \geq 0, q \geq 0 \)）： \[ \begin{aligned} \max {p,q} \quad & \sum_ i \bar{r} i x_ i - \sum_ i p_ i - \Gamma q \\ \text{s.t.} \quad & p_ i + q \geq \Delta_ i x_ i \quad \forall i \\ & p_ i \geq 0, q \geq 0 \end{aligned} \] 原问题转化为单层优化： \[ \begin{aligned} \max {x,p,q} \quad & \sum_ i \bar{r}_ i x_ i - \sum_ i p_ i - \Gamma q \\ \text{s.t.} \quad & p_ i + q \geq \Delta_ i x_ i \quad \forall i \\ & \sum_ i x_ i = 1, \quad x_ i \geq 0 \\ & p_ i \geq 0, q \geq 0 \end{aligned} \] 5. 代入数值求解代入数据： \[ \begin{aligned} \max \quad & 0.12x_ 1 + 0.10x_ 2 + 0.08x_ 3 - p_ 1 - p_ 2 - p_ 3 - 1.5q \\ \text{s.t.} \quad & p_ 1 + q \geq 0.04x_ 1 \\ & p_ 2 + q \geq 0.04x_ 2 \\ & p_ 3 + q \geq 0.04x_ 3 \\ & x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 = 1 \\ & x_ i, p_ i, q \geq 0 \end{aligned} \] 使用单纯形法求解（略去计算细节），得到鲁棒最优解： \[ x_ 1 \approx 0.5, \quad x_ 2 \approx 0.5, \quad x_ 3 \approx 0, \quad \text{目标值} \approx 0.09 \] 说明在不确定性预算下，应平均分配股票A和B，放弃C。 6. 结果分析若 \( \Gamma=0 \)（完全乐观），解为全投A（收益0.12）；若 \( \Gamma=3 \)（完全悲观），解为全投C（收益0.04）； \( \Gamma=1.5 \) 时平衡风险与收益，目标值0.09高于最坏情况0.04，但低于名义值0.12。该方法通过线性规划巧妙处理了不确定性，体现了鲁棒优化的核心思想。