高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变量替换技巧

题目描述
计算带权函数的积分 \(I = \int_{-1}^{1} f(x) \cdot w(x) \, dx\)，其中权函数 \(w(x) = \sqrt{1 - x^2}\)。若直接使用标准高斯-勒让德求积公式（适用于权函数 \(w(x) \equiv 1\) 的情况），精度会显著降低。请设计变量替换方法，将原积分转化为高斯-勒让德求积公式可直接处理的形式，并分析替换后的积分区间与误差特性。

解题过程

1. 问题分析

   • 高斯-勒让德求积公式的节点和权重针对积分 \(\int_{-1}^{1} g(x) \, dx\) 优化，其权函数为常数 1。
   • 当前积分包含非常数权函数 \(w(x) = \sqrt{1 - x^2}\)，需通过变量替换将权函数“吸收”到被积函数中，同时调整积分区间。

2. 变量替换设计

   • 令 \(x = \cos\theta\)，则 \(dx = -\sin\theta \, d\theta\)。
   • 积分区间变换：当 \(x = -1\) 时，\(\theta = \pi\)；当 \(x = 1\) 时，\(\theta = 0\)。
   • 代入原积分：

\[ I = \int_{-1}^{1} f(x) \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_{\pi}^{0} f(\cos\theta) \sqrt{1 - \cos^2\theta} \cdot (-\sin\theta) \, d\theta. \]

• 简化被积函数：

\[ \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sin\theta, \quad \text{故} \quad I = \int_{\pi}^{0} f(\cos\theta) \sin\theta \cdot (-\sin\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \sin^2\theta \, d\theta. \]

3. 调整积分形式
   • 进一步令 \(t = \theta - \frac{\pi}{2}\)，使积分区间对称：

\[ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f\left(\cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right)\right) \sin^2\left(t + \frac{\pi}{2}\right) \, dt. \]

• 利用三角恒等式 \(\cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin t\)，\(\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t\)：

\[ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(-\sin t) \cos^2 t \, dt. \]

• 由于被积函数偶对称（\(\cos^2 t\) 为偶函数，\(f(-\sin t)\) 仅依赖 \(\sin t\) 的平方），可缩半区间：

\[ I = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(-\sin t) \cos^2 t \, dt. \]

4. 应用高斯-勒让德求积公式
   • 将区间 \([0, \frac{\pi}{2}]\) 线性映射到 \([-1, 1]\)：令 \(u = \frac{2t}{\pi} - 1\)，则 \(t = \frac{\pi}{2}(u + 1)\)，\(dt = \frac{\pi}{2} du\)。
   • 积分变为：

\[ I = 2 \int_{-1}^{1} f\left(-\sin\left(\frac{\pi}{2}(u + 1)\right)\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{2}(u + 1)\right) \cdot \frac{\pi}{2} \, du. \]

• 化简：

\[ I = \pi \int_{-1}^{1} f\left(-\sin\left(\frac{\pi}{2}(u + 1)\right)\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{2}(u + 1)\right) \, du. \]

• 此时积分形式为 \(\int_{-1}^{1} h(u) \, du\)，可直接用 \(n\) 点高斯-勒让德公式计算：

\[ I \approx \pi \sum_{i=1}^{n} w_i h(u_i), \quad h(u) = f\left(-\sin\left(\frac{\pi}{2}(u + 1)\right)\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{2}(u + 1)\right), \]

 其中 $ u_i, w_i $ 为公式的节点和权重。

5. 误差分析
   • 原积分通过变量替换消除了权函数，但新被积函数 \(h(u)\) 可能光滑性变差（如 \(f(x)\) 在 \(x = \pm 1\) 处有奇异性时）。
   • 若 \(f(x)\) 在 \([-1, 1]\) 上光滑，则 \(h(u)\) 在 \([-1, 1]\) 上光滑，高斯-勒让德公式的指数收敛性得以保持。
   • 误差由高斯-勒让德公式的余项决定，与节点数 \(n\) 和 \(h(u)\) 的高阶导数相关。

总结
通过变量替换 \(x = \cos\theta\) 和区间调整，将带权积分转化为标准形式，再利用高斯-勒让德公式计算。此方法的关键是保持被积函数的光滑性，以确保公式的高精度。