分块矩阵求逆的Strassen算法

题目描述
如何利用Strassen快速矩阵乘法思想来加速分块矩阵的求逆过程？给定一个可逆矩阵A，将其划分为2×2分块形式，利用Strassen算法中的分治策略，通过7次子矩阵乘法和若干次子矩阵加减法来计算A的逆矩阵。

解题过程

1. 分块矩阵表示
首先将n×n可逆矩阵A划分为2×2分块形式：

A = [A₁₁  A₁₂]
    [A₂₁  A₂₂]

其中A₁₁是p×p子矩阵，A₂₂是q×q子矩阵（p+q=n）。

2. 分块矩阵求逆公式
根据分块矩阵求逆公式，A的逆矩阵可表示为：

A⁻¹ = [B₁₁  B₁₂]
      [B₂₁  B₂₂]

其中：

• B₁₁ = (A₁₁ - A₁₂A₂₂⁻¹A₂₁)⁻¹
• B₁₂ = -B₁₁A₁₂A₂₂⁻¹
• B₂₁ = -A₂₂⁻¹A₂₁B₁₁
• B₂₂ = A₂₂⁻¹ + A₂₂⁻¹A₂₁B₁₁A₁₂A₂₂⁻¹

3. Strassen算法的核心思想
传统计算需要4次子矩阵求逆和多次乘法。Strassen算法的优化思路是：

定义中间变量：

• M₁ = A₂₂⁻¹
• M₂ = A₂₁M₁
• M₃ = M₂A₁₂
• M₄ = A₁₁ - M₃
• M₅ = M₄⁻¹（核心的求逆操作）
• M₆ = M₁A₂₁
• M₇ = A₁₂M₁

4. 计算步骤
步骤1：递归计算M₁ = A₂₂⁻¹（对右下角子矩阵求逆）

步骤2：计算矩阵乘积：

• M₂ = A₂₁ × M₁（A₂₁与M₁相乘）
• M₃ = M₂ × A₁₂（M₂与A₁₂相乘）

步骤3：计算M₄ = A₁₁ - M₃（左上角子矩阵减去M₃）

步骤4：递归计算M₅ = M₄⁻¹（对M₄求逆）

步骤5：计算逆矩阵的四个分块：

• B₁₁ = M₅
• B₁₂ = -M₅ × A₁₂ × M₁（通过组合乘法计算）
• B₂₁ = -M₁ × A₂₁ × M₅
• B₂₂ = M₁ + M₁ × A₂₁ × M₅ × A₁₂ × M₁

5. Strassen乘法的应用
在每一步矩阵乘法中（如M₂ = A₂₁ × M₁），都采用Strassen矩阵乘法算法，将乘法复杂度从O(n³)降低到O(n^log₂7) ≈ O(n²·⁸¹)。

6. 递归终止条件
当子矩阵规模足够小（如1×1或2×2）时，直接计算逆矩阵，不再继续分块。

算法优势

• 时间复杂度：O(n^log₂7)优于传统的O(n³)
• 特别适合大规模矩阵计算
• 数值稳定性在大多数实际应用中可接受

注意事项

• 需要保证所有递归求逆的子矩阵都可逆
• 数值稳定性略低于传统方法，但对于良态矩阵影响不大
• 实际实现时需要考虑分块大小和缓存优化