高斯-拉盖尔求积公式在核物理反应截面积分中的应用 题目描述 在核物理中，计算反应截面常涉及形如 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \) 的积分，其中 \( f(x) \) 可能包含振荡或缓慢衰减的函数。例如，中子俘获截面的计算需处理指数衰减与核共振项的乘积。高斯-拉盖尔求积公式专用于此类带权函数 \( e^{-x} \) 的无穷区间积分，本题将详细讲解其应用步骤。 解题过程 高斯-拉盖尔公式的基本形式 公式的核心是利用拉盖尔多项式的正交性：对 \( n \) 个节点 \( x_ i \)（拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根）和对应权重 \( w_ i \)，积分近似为： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i). \] 节点 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \) 可查表或通过数值方法计算（如 Golub-Welsch 算法）。 核物理积分的适配性分析 若积分形式为 \( \int_ {0}^{\infty} e^{-ax} g(x) \, dx \)（\( a>0 \)），需通过变量替换 \( t = ax \) 标准化： \[ \frac{1}{a} \int_ {0}^{\infty} e^{-t} g\left(\frac{t}{a}\right) dt, \] 此时可直接应用公式，被积函数变为 \( \frac{1}{a} g(t/a) \)。 处理非指数权函数的扩展 若积分权函数为 \( x^{\alpha} e^{-x} \)（如裂变截面模型中的幂律修正），需使用广义高斯-拉盖尔公式： \[ \int_ {0}^{\infty} x^{\alpha} e^{-x} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i^{(\alpha)} f(x_ i^{(\alpha)}), \] 其中 \( x_ i^{(\alpha)} \) 为广义拉盖尔多项式 \( L_ n^{(\alpha)}(x) \) 的根。 实际计算示例 以中子共振积分 \( I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \frac{\sin(bx)}{x+c} \, dx \) 为例（\( b, c > 0 \)）： 选择 \( n=5 \) 的高斯-拉盖尔节点与权重（查标准表）。 直接计算 \( \sum_ {i=1}^{5} w_ i \cdot \frac{\sin(bx_ i)}{x_ i + c} \)。 若结果不精确（因 \( \sin(bx) \) 振荡），增加节点数 \( n \) 或分段积分。 误差控制与节点数选择 误差随 \( n \) 增大而指数下降，但振荡函数需更多节点。实践中可逐步增加 \( n \)，比较相邻结果的变化，直至相对误差小于阈值（如 \( 10^{-6} \)）。对于高度振荡函数，可结合区间划分策略。 总结 高斯-拉盖尔公式通过正交多项式节点优化采样位置，显著提升核物理中带指数权函数的积分效率。关键步骤包括积分标准化、节点权重选择及误差监控。