非线性规划中的自适应屏障-序列二次规划混合算法基础题

字数 2511 2025-11-02 10:11:21

非线性规划中的自适应屏障-序列二次规划混合算法基础题

题目描述
考虑非线性约束优化问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件：
\(g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
\(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
其中 \(x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2\)。
要求设计一种自适应屏障-序列二次规划混合算法，结合屏障函数（内点罚函数）的可行性保持特性与序列二次规划（SQP）的快速局部收敛性，并通过自适应机制调整屏障参数和二次规划子问题的精度。

解题过程

1. 算法框架概述
混合算法的核心思想是：

使用屏障函数将约束问题转化为一系列无约束子问题，确保迭代点始终在可行域内部；
对每个子问题应用SQP方法进行快速求解，并自适应调整屏障参数和子问题精度以平衡效率与稳定性。
流程分为以下步骤：初始化、屏障函数构造、自适应SQP求解、参数更新和收敛判断。

2. 屏障函数构造
原问题的屏障函数形式为：

\[B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^2 \ln(-g_i(x)) \]

其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。屏障项 \(-\ln(-g_i(x))\) 在约束边界趋于无穷大，迫使迭代点留在可行域内部（即 \(g_i(x) < 0\)）。初始点需严格可行，例如选 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，满足 \(g_1(x) = -0.25 < 0\)，\(g_2(x) = -1 < 0\)。

3. 自适应SQP求解子问题
对每个固定的 \(\mu_k\)，求解无约束问题 \(\min_x B(x, \mu_k)\)。SQP通过二次规划子问题逼近解：

梯度计算：
\(\nabla B(x, \mu_k) = \nabla f(x) - \mu_k \sum_{i=1}^2 \frac{\nabla g_i(x)}{-g_i(x)}\)。
例如，\(\nabla f(x) = [2(x_1-2), 2(x_2-1)]^T\)，\(\nabla g_1(x) = [2x_1, -1]^T\)，\(\nabla g_2(x) = [1, 1]^T\)。
Hessian近似：使用BFGS公式更新 \(H_k\) 以近似 \(\nabla^2 B(x, \mu_k)\)，避免直接计算二阶导数。
二次规划子问题：在迭代点 \(x^{(k)}\) 构建子问题：
最小化 \(\frac{1}{2} d^T H_k d + \nabla B(x^{(k)}, \mu_k)^T d\)
约束为线性化可行性条件：\(g_i(x^{(k)}) + \nabla g_i(x^{(k)})^T d \leq 0 \quad (i=1,2)\)。
注意：由于屏障函数保证 \(g_i(x^{(k)}) < 0\)，子问题总是可行。
自适应精度控制：若子问题的解 \(d_k\) 满足 \(\|d_k\| < \epsilon_{\text{inner}}\)（内层容忍度），则终止内层循环；否则更新 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_k d_k\)，其中步长 \(\alpha_k\) 通过Armijo线搜索满足 \(B(x^{(k+1)}, \mu_k) < B(x^{(k)}, \mu_k) + c_1 \alpha_k \nabla B^T d_k\)。

4. 自适应参数更新

屏障参数更新：每完成一个SQP阶段后，减小 \(\mu_k\) 以逼近原始问题解，例如 \(\mu_{k+1} = \mu_k / \gamma\)（\(\gamma > 1\)，如 \(\gamma=10\)）。若当前点 \(x^{(k)}\) 的约束违反度 \(\max_i g_i(x^{(k)})\) 接近零，则加速减小 \(\mu_k\)；若违反度增大，则调小 \(\gamma\) 以稳定迭代。
收敛判断：当 \(\mu_k < \mu_{\min}\)（如 \(10^{-6}\)）且原始问题的KKT条件残差 \(\|\nabla f(x^{(k)}) + \lambda_1 \nabla g_1(x^{(k)}) + \lambda_2 \nabla g_2(x^{(k)})\| < \epsilon\)（如 \(\epsilon=10^{-5}\)）时停止，其中拉格朗日乘子 \(\lambda_i = \mu_k / (-g_i(x^{(k)}))\) 由屏障函数导出。

5. 实例演算
以初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，\(\mu_0=1\) 为例：

第一轮（\(\mu_0=1\)）：计算 \(B(x^{(0)}, 1) \approx 4.25\)，梯度 \(\nabla B \approx [-2, 0]^T\)。求解QP子问题得 \(d_0 \approx (0.3, 0.2)\)，步长 \(\alpha_0=0.5\) 更新至 \(x^{(1)} = (0.65, 0.6)\)。
参数调整：检查约束违反度（\(g_1 \approx -0.1775\)，\(g_2 \approx -0.75\)）后减小 \(\mu_1=0.1\)。
后续迭代：重复SQP步骤，直至 \(x^{(k)} \approx (1.0, 1.0)\)（最优解），此时 \(f(x)=2\)，约束紧致且KKT残差趋于零。

总结
本算法通过屏障函数保持可行性，SQP提升收敛速度，自适应机制平衡全局探索与局部精细搜索。关键点在于屏障参数与SQP精度的协同调整，避免过早陷入边界或计算浪费。

非线性规划中的自适应屏障-序列二次规划混合算法基础题题目描述考虑非线性约束优化问题：最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) 其中 \( x = (x_ 1, x_ 2) \in \mathbb{R}^2 \)。要求设计一种自适应屏障-序列二次规划混合算法，结合屏障函数（内点罚函数）的可行性保持特性与序列二次规划（SQP）的快速局部收敛性，并通过自适应机制调整屏障参数和二次规划子问题的精度。解题过程 1. 算法框架概述混合算法的核心思想是：使用屏障函数将约束问题转化为一系列无约束子问题，确保迭代点始终在可行域内部；对每个子问题应用SQP方法进行快速求解，并自适应调整屏障参数和子问题精度以平衡效率与稳定性。流程分为以下步骤：初始化、屏障函数构造、自适应SQP求解、参数更新和收敛判断。 2. 屏障函数构造原问题的屏障函数形式为： \[ B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^2 \ln(-g_ i(x)) \] 其中 \(\mu > 0\) 是屏障参数。屏障项 \(-\ln(-g_ i(x))\) 在约束边界趋于无穷大，迫使迭代点留在可行域内部（即 \(g_ i(x) < 0\)）。初始点需严格可行，例如选 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，满足 \(g_ 1(x) = -0.25 < 0\)，\(g_ 2(x) = -1 < 0\)。 3. 自适应SQP求解子问题对每个固定的 \(\mu_ k\)，求解无约束问题 \(\min_ x B(x, \mu_ k)\)。SQP通过二次规划子问题逼近解：梯度计算： \(\nabla B(x, \mu_ k) = \nabla f(x) - \mu_ k \sum_ {i=1}^2 \frac{\nabla g_ i(x)}{-g_ i(x)}\)。例如，\(\nabla f(x) = [ 2(x_ 1-2), 2(x_ 2-1)]^T\)，\(\nabla g_ 1(x) = [ 2x_ 1, -1]^T\)，\(\nabla g_ 2(x) = [ 1, 1 ]^T\)。 Hessian近似：使用BFGS公式更新 \(H_ k\) 以近似 \(\nabla^2 B(x, \mu_ k)\)，避免直接计算二阶导数。二次规划子问题：在迭代点 \(x^{(k)}\) 构建子问题：最小化 \(\frac{1}{2} d^T H_ k d + \nabla B(x^{(k)}, \mu_ k)^T d\) 约束为线性化可行性条件：\(g_ i(x^{(k)}) + \nabla g_ i(x^{(k)})^T d \leq 0 \quad (i=1,2)\)。注意：由于屏障函数保证 \(g_ i(x^{(k)}) < 0\)，子问题总是可行。自适应精度控制：若子问题的解 \(d_ k\) 满足 \(\|d_ k\| < \epsilon_ {\text{inner}}\)（内层容忍度），则终止内层循环；否则更新 \(x^{(k+1)} = x^{(k)} + \alpha_ k d_ k\)，其中步长 \(\alpha_ k\) 通过Armijo线搜索满足 \(B(x^{(k+1)}, \mu_ k) < B(x^{(k)}, \mu_ k) + c_ 1 \alpha_ k \nabla B^T d_ k\)。 4. 自适应参数更新屏障参数更新：每完成一个SQP阶段后，减小 \(\mu_ k\) 以逼近原始问题解，例如 \(\mu_ {k+1} = \mu_ k / \gamma\)（\(\gamma > 1\)，如 \(\gamma=10\)）。若当前点 \(x^{(k)}\) 的约束违反度 \(\max_ i g_ i(x^{(k)})\) 接近零，则加速减小 \(\mu_ k\)；若违反度增大，则调小 \(\gamma\) 以稳定迭代。收敛判断：当 \(\mu_ k < \mu_ {\min}\)（如 \(10^{-6}\)）且原始问题的KKT条件残差 \(\|\nabla f(x^{(k)}) + \lambda_ 1 \nabla g_ 1(x^{(k)}) + \lambda_ 2 \nabla g_ 2(x^{(k)})\| < \epsilon\)（如 \(\epsilon=10^{-5}\)）时停止，其中拉格朗日乘子 \(\lambda_ i = \mu_ k / (-g_ i(x^{(k)}))\) 由屏障函数导出。 5. 实例演算以初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，\(\mu_ 0=1\) 为例：第一轮（\(\mu_ 0=1\)）：计算 \(B(x^{(0)}, 1) \approx 4.25\)，梯度 \(\nabla B \approx [ -2, 0]^T\)。求解QP子问题得 \(d_ 0 \approx (0.3, 0.2)\)，步长 \(\alpha_ 0=0.5\) 更新至 \(x^{(1)} = (0.65, 0.6)\)。参数调整：检查约束违反度（\(g_ 1 \approx -0.1775\)，\(g_ 2 \approx -0.75\)）后减小 \(\mu_ 1=0.1\)。后续迭代：重复SQP步骤，直至 \(x^{(k)} \approx (1.0, 1.0)\)（最优解），此时 \(f(x)=2\)，约束紧致且KKT残差趋于零。总结本算法通过屏障函数保持可行性，SQP提升收敛速度，自适应机制平衡全局探索与局部精细搜索。关键点在于屏障参数与SQP精度的协同调整，避免过早陷入边界或计算浪费。