非线性规划中的自适应差分进化算法基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： \[ \min f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 + \sin(x_ 1 x_ 2) \] \[ \text{s.t. } \quad x_ 1^2 + x_ 2^2 \leq 4, \quad -1 \leq x_ 1, x_ 2 \leq 2. \] 目标函数包含非线性项，约束为凸圆域和边界限制。要求用自适应差分进化算法（Adaptive Differential Evolution, ADE）求解该问题，并解释如何动态调整变异和交叉参数以提升收敛性。 解题过程 1. 算法背景 差分进化（DE）是一种基于种群的随机优化方法，通过变异、交叉和选择操作迭代进化种群。自适应DE的核心思想是根据搜索进程动态调整参数（如变异因子 \(F\) 和交叉概率 \(CR\)），避免手动调参的局限性。 2. 初始化种群 种群大小 ：设 \(NP = 50\)，每个个体为二维向量 \(x = (x_ 1, x_ 2)\)。 边界约束 ：在 \([ -1, 2] \times [ -1, 2]\) 内随机生成初始种群，并检查圆约束 \(x_ 1^2 + x_ 2^2 \leq 4\)（若不满足则重新生成或投影到约束域）。 3. 自适应参数调整（以 jDE 算法为例） 为每个个体 \(i\) 分配专属参数 \(F_ i\) 和 \(CR_ i\)，初始值可设为 \(F_ i = 0.5, CR_ i = 0.9\)。每代更新规则如下： 以概率 \(\tau_ 1 = 0.1\) 随机重置 \(F_ i \sim U[ 0.1, 1.0 ]\)，否则保留原值。 以概率 \(\tau_ 2 = 0.1\) 随机重置 \(CR_ i \sim U[ 0, 1 ]\)，否则保留原值。 此机制使参数在进化中自适应变化，避免陷入局部最优。 4. 变异操作 对每个目标个体 \(x_ i\)，随机选择三个互不相同的个体 \(x_ {r1}, x_ {r2}, x_ {r3}\)，生成变异向量： \[ v_ i = x_ {r1} + F_ i \cdot (x_ {r2} - x_ {r3}). \] 若 \(v_ i\) 越界，则采用边界吸收（例如截断到边界值）。 5. 交叉操作 通过二项交叉生成试验向量 \(u_ i\)： \[ u_ {i,j} = \begin{cases} v_ {i,j} & \text{if } rand(0,1) \leq CR_ i \text{ or } j = j_ {rand} \\ x_ {i,j} & \text{otherwise} \end{cases} \] 其中 \(j_ {rand}\) 是随机选择的维度，确保 \(u_ i\) 至少有一维来自 \(v_ i\)。 6. 选择操作 比较试验向量 \(u_ i\) 和目标向量 \(x_ i\) 的适应度（考虑约束处理）： 约束处理 ：采用罚函数法，将约束违反量加入目标函数： \[ \text{Penalty}(x) = f(x) + \lambda \cdot \max(0, x_ 1^2 + x_ 2^2 - 4)^2， \] 其中 \(\lambda\) 为惩罚系数（如 \(\lambda = 10^3\)）。 若 \(Penalty(u_ i) \leq Penalty(x_ i)\)，则用 \(u_ i\) 替换 \(x_ i\)，并保留其参数 \(F_ i, CR_ i\)；否则保留 \(x_ i\)。 7. 自适应机制的优势 动态探索与开发 ：早期 \(F\) 较大（如接近 1.0）增强全局探索，后期 \(F\) 较小（如 0.1-0.5）促进局部精细搜索。 交叉概率调整 ：高 \(CR\) 加速收敛，低 \(CR\) 保持多样性。 8. 停止准则 最大迭代次数 \(T_ {max} = 1000\)，或连续 50 代最优解改善小于 \(\epsilon = 10^{-6}\)。 9. 结果分析 通过多次运行观察收敛曲线，自适应DE能较标准DE更快跳出局部极值（如 \(\sin(x_ 1 x_ 2)\) 引起的震荡），最终逼近全局最优解（近似于 \(x^* \approx (1.2, 0.8)\)，需数值验证）。 总结 ：自适应DE通过参数动态调整平衡探索与开发，特别适用于非凸、多峰的非线性规划问题。