高斯-勒让德求积公式在边界元法中的奇异性处理技巧 题目描述 在边界元法中，计算边界积分时经常遇到被积函数在积分区间端点或内部点出现奇异性的情况（如1/r形式的核函数）。这类积分无法直接用标准的高斯-勒让德求积公式计算，因为多项式逼近在奇点附近会失效。本题要求设计一种处理端点奇异性的变换技巧，使变换后的积分可用高斯-勒让德公式精确计算。 解题过程 问题分析 考虑积分 \( I = \int_ {-1}^{1} f(x) \, dx \)，其中 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处有 \( 1/(1-x)^\alpha \)（\( 0 < \alpha < 1 \)）型奇异性。直接应用n点高斯-勒让德公式会因奇点处多项式逼近失真导致误差发散。 奇异性消除思路 通过变量替换 \( x = phi(t) \)，使得： \[ I = \int_ {-1}^{1} f(\phi(t)) \phi'(t) \, dt \] 新被积函数 \( g(t) = f(\phi(t)) \phi'(t) \) 需消除奇异性。常用方法是让 \( \phi'(t) \) 包含与 \( f(x) \) 奇异性相反的趋势。 具体变换设计 针对 \( f(x) = (1-x)^{-\alpha} h(x) \)（\( h(x) \) 光滑），令： \[ x = 1 - (1+t)^\beta / 2^\beta, \quad \beta = 1 - \alpha \] 计算导数： \[ \frac{dx}{dt} = \frac{\beta}{2^\beta} (1+t)^{\beta-1} \] 代入原积分： \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{h(x)}{(1-x)^\alpha} dx = \int_ {-1}^{1} \frac{h\left(1-\frac{(1+t)^\beta}{2^\beta}\right)}{\left(\frac{(1+t)^\beta}{2^\beta}\right)^\alpha} \cdot \frac{\beta}{2^\beta} (1+t)^{\beta-1} dt \] 化简后： \[ I = \beta \int_ {-1}^{1} h\left(1-\frac{(1+t)^\beta}{2^\beta}\right) (1+t)^{-\alpha\beta + \beta - 1} dt \] 由于 \( -\alpha\beta + \beta - 1 = -\alpha(1-\alpha) + (1-\alpha) - 1 = 0 \)，被积函数变为光滑函数 \( g(t) = \beta \cdot h\left(1-\frac{(1+t)^\beta}{2^\beta}\right) \)。 高斯-勒让德公式应用 对变换后的积分 \( I = \int_ {-1}^{1} g(t) \, dt \) 直接应用n点高斯-勒让德公式： \[ I \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i g(t_ i) \] 其中 \( t_ i \) 和 \( w_ i \) 为标准高斯-勒让德节点和权重。 误差控制 若 \( h(x) \) 为m次多项式，且 \( n \geq \lceil m/2 \rceil \)，则积分结果精确。 对于非多项式 \( h(x) \)，可通过增加节点数n控制误差，收敛速度由 \( h(x) \) 的光滑性决定。 关键点总结 奇异性处理的核心是通过变量替换使雅可比因子 \( \phi'(t) \) 的奇异性与原函数抵消。该方法可推广至其他幂次奇异性（如 \( \alpha = 0.5 \) 时取 \( \beta = 0.5 \)），且适用于对数奇异性（需改用指数变换）。