隐语义模型（LFM）的原理与矩阵分解过程
字数 2710 2025-11-02 00:38:37

隐语义模型（LFM）的原理与矩阵分解过程

题目描述
隐语义模型（Latent Factor Model, LFM）是推荐系统中一种经典的协同过滤算法。它通过矩阵分解技术，将用户-物品评分矩阵分解为用户隐因子矩阵和物品隐因子矩阵，从而挖掘用户和物品背后潜在的隐含特征（即隐语义）。核心问题是如何将一个已知部分评分的矩阵 \(R_{m \times n}\)（m个用户，n个物品）分解为两个低维矩阵 \(P_{m \times k}\) 和 \(Q_{n \times k}\) 的乘积，使得 \(R \approx P \times Q^T\)，并利用分解后的矩阵预测缺失的评分。

解题过程

  1. 问题建模

    • 目标：预测用户 \(u\) 对物品 \(i\) 的未知评分 \(r_{ui}\)。
    • 假设：存在k个隐因子（如电影的风格：动作、浪漫、科幻等）。每个用户对各个隐因子有一个偏好程度（用户隐因子向量 \(p_u \in \mathbb{R}^k\)），每个物品在各个隐因子上的归属程度（物品隐因子向量 \(q_i \in \mathbb{R}^k\)）。
    • 模型：预测评分 \(\hat{r}_{ui}\) 通过用户向量和物品向量的内积计算：\(\hat{r}_{ui} = p_u \cdot q_i^T = \sum_{f=1}^{k} p_{uf} q_{if}\)。
    • 矩阵形式：目标是最小化预测评分与真实评分之间的差异，即最小化损失函数。

  2. 定义损失函数

    • 采用平方误差损失函数，并加入L2正则化项防止过拟合。
    • 损失函数 \(J\) 定义为：
      \(J = \sum_{(u, i) \in \mathcal{K}} (r_{ui} - p_u \cdot q_i^T)^2 + \lambda (\|p_u\|^2 + \|q_i\|^2)\)
      其中：
      • \(\mathcal{K}\) 是所有已知评分的用户-物品对的集合。
      • \(r_{ui}\) 是用户 \(u\) 对物品 \(i\) 的真实评分。
      • \(\hat{r}_{ui} = p_u \cdot q_i^T\) 是预测评分。
      • \(\lambda\) 是正则化系数，控制正则化项的强度。
      • \(\|p_u\|^2\) 和 \(\|q_i\|^2\) 是用户向量和物品向量的L2范数平方。

  3. 优化算法：随机梯度下降（SGD）

    • 目标是通过调整参数 \(p_u\) 和 \(q_i\) 最小化损失函数 \(J\)。
    • 梯度计算：分别计算损失函数 \(J\) 对用户隐因子向量 \(p_{uf}\) 和物品隐因子向量 \(q_{if}\) 的偏导数。
      • 对 \(p_{uf}\) 求偏导：\(\frac{\partial J}{\partial p_{uf}} = -2(r_{ui} - \hat{r}_{ui}) q_{if} + 2\lambda p_{uf}\)
      • 对 \(q_{if}\) 求偏导：\(\frac{\partial J}{\partial q_{if}} = -2(r_{ui} - \hat{r}_{ui}) p_{uf} + 2\lambda q_{if}\)
    • 参数更新：沿着梯度的反方向更新参数，学习率 \(\gamma\) 控制步长。
      • \(p_{uf} \leftarrow p_{uf} + \gamma \left( (r_{ui} - \hat{r}_{ui}) \cdot q_{if} - \lambda p_{uf} \right)\)
      • \(q_{if} \leftarrow q_{if} + \gamma \left( (r_{ui} - \hat{r}_{ui}) \cdot p_{uf} - \lambda q_{if} \right)\)

  4. 算法步骤

    • 输入：用户-物品评分矩阵 \(R\)（已知部分），隐因子数量 \(k\)，学习率 \(\gamma\)，正则化系数 \(\lambda\)，迭代次数 \(epochs\)。
    • 初始化：随机初始化用户隐因子矩阵 \(P\) 和物品隐因子矩阵 \(Q\)（通常用小的随机值，如服从均值为0的正态分布）。
    • 迭代训练：
      For epoch in 1 to epochs:
      For 每个已知评分 \((u, i, r_{ui})\) in \(R\)：
      1. 计算当前预测评分误差：\(e_{ui} = r_{ui} - p_u \cdot q_i^T\)
      2. 对于每个隐因子 \(f\) 从1到 \(k\)：
      * 更新用户隐因子：\(p_{uf} \leftarrow p_{uf} + \gamma (e_{ui} \cdot q_{if} - \lambda \cdot p_{uf})\)
      * 更新物品隐因子：\(q_{if} \leftarrow q_{if} + \gamma (e_{ui} \cdot p_{uf} - \lambda \cdot q_{if})\)
    • 输出：训练好的用户隐因子矩阵 \(P\) 和物品隐因子矩阵 \(Q\)。
    • 预测：对于任意用户 \(u\) 和物品 \(i\)，预测评分为 \(\hat{r}_{ui} = p_u \cdot q_i^T\)。

  5. 关键点与扩展

    • 隐因子的含义：隐因子是模型自动学习到的，通常没有直接的物理意义，但可以解释为一些抽象的特征维度。
    • 偏置项：为了更精确，模型常加入全局平均评分 \(\mu\)、用户偏置 \(b_u\)（用户评分习惯偏离均值的程度）、物品偏置 \(b_i\)（物品受欢迎程度偏离均值的程度）。预测评分变为：\(\hat{r}_{ui} = \mu + b_u + b_i + p_u \cdot q_i^T\)。
    • 交替最小二乘法（ALS）：另一种优化方法，固定 \(Q\) 优化 \(P\)，再固定 \(P\) 优化 \(Q\)，交替进行，适用于并行化处理。
    • 应用：LFM是许多现代推荐系统（如Netflix Prize比赛中）的基础，也是更复杂模型（如SVD++）的核心组件。
隐语义模型（LFM）的原理与矩阵分解过程 题目描述 隐语义模型（Latent Factor Model, LFM）是推荐系统中一种经典的协同过滤算法。它通过矩阵分解技术，将用户-物品评分矩阵分解为用户隐因子矩阵和物品隐因子矩阵，从而挖掘用户和物品背后潜在的隐含特征（即隐语义）。核心问题是如何将一个已知部分评分的矩阵 \( R_ {m \times n} \)（m个用户，n个物品）分解为两个低维矩阵 \( P_ {m \times k} \) 和 \( Q_ {n \times k} \) 的乘积，使得 \( R \approx P \times Q^T \)，并利用分解后的矩阵预测缺失的评分。 解题过程 问题建模 目标：预测用户 \( u \) 对物品 \( i \) 的未知评分 \( r_ {ui} \)。 假设：存在k个隐因子（如电影的风格：动作、浪漫、科幻等）。每个用户对各个隐因子有一个偏好程度（用户隐因子向量 \( p_ u \in \mathbb{R}^k \)），每个物品在各个隐因子上的归属程度（物品隐因子向量 \( q_ i \in \mathbb{R}^k \)）。 模型：预测评分 \( \hat{r} {ui} \) 通过用户向量和物品向量的内积计算：\( \hat{r} {ui} = p_ u \cdot q_ i^T = \sum_ {f=1}^{k} p_ {uf} q_ {if} \)。 矩阵形式：目标是最小化预测评分与真实评分之间的差异，即最小化损失函数。 定义损失函数 采用平方误差损失函数，并加入L2正则化项防止过拟合。 损失函数 \( J \) 定义为： \( J = \sum_ {(u, i) \in \mathcal{K}} (r_ {ui} - p_ u \cdot q_ i^T)^2 + \lambda (\|p_ u\|^2 + \|q_ i\|^2) \) 其中： \( \mathcal{K} \) 是所有已知评分的用户-物品对的集合。 \( r_ {ui} \) 是用户 \( u \) 对物品 \( i \) 的真实评分。 \( \hat{r}_ {ui} = p_ u \cdot q_ i^T \) 是预测评分。 \( \lambda \) 是正则化系数，控制正则化项的强度。 \( \|p_ u\|^2 \) 和 \( \|q_ i\|^2 \) 是用户向量和物品向量的L2范数平方。 优化算法：随机梯度下降（SGD） 目标是通过调整参数 \( p_ u \) 和 \( q_ i \) 最小化损失函数 \( J \)。 梯度计算 ：分别计算损失函数 \( J \) 对用户隐因子向量 \( p_ {uf} \) 和物品隐因子向量 \( q_ {if} \) 的偏导数。 对 \( p_ {uf} \) 求偏导：\( \frac{\partial J}{\partial p_ {uf}} = -2(r_ {ui} - \hat{r} {ui}) q {if} + 2\lambda p_ {uf} \) 对 \( q_ {if} \) 求偏导：\( \frac{\partial J}{\partial q_ {if}} = -2(r_ {ui} - \hat{r} {ui}) p {uf} + 2\lambda q_ {if} \) 参数更新 ：沿着梯度的反方向更新参数，学习率 \( \gamma \) 控制步长。 \( p_ {uf} \leftarrow p_ {uf} + \gamma \left( (r_ {ui} - \hat{r} {ui}) \cdot q {if} - \lambda p_ {uf} \right) \) \( q_ {if} \leftarrow q_ {if} + \gamma \left( (r_ {ui} - \hat{r} {ui}) \cdot p {uf} - \lambda q_ {if} \right) \) 算法步骤 输入 ：用户-物品评分矩阵 \( R \)（已知部分），隐因子数量 \( k \)，学习率 \( \gamma \)，正则化系数 \( \lambda \)，迭代次数 \( epochs \)。 初始化 ：随机初始化用户隐因子矩阵 \( P \) 和物品隐因子矩阵 \( Q \)（通常用小的随机值，如服从均值为0的正态分布）。 迭代训练 ： For epoch in 1 to epochs: For 每个已知评分 \( (u, i, r_ {ui}) \) in \( R \)： 1. 计算当前预测评分误差：\( e_ {ui} = r_ {ui} - p_ u \cdot q_ i^T \) 2. 对于每个隐因子 \( f \) 从1到 \( k \)： * 更新用户隐因子：\( p_ {uf} \leftarrow p_ {uf} + \gamma (e_ {ui} \cdot q_ {if} - \lambda \cdot p_ {uf}) \) * 更新物品隐因子：\( q_ {if} \leftarrow q_ {if} + \gamma (e_ {ui} \cdot p_ {uf} - \lambda \cdot q_ {if}) \) 输出 ：训练好的用户隐因子矩阵 \( P \) 和物品隐因子矩阵 \( Q \)。 预测 ：对于任意用户 \( u \) 和物品 \( i \)，预测评分为 \( \hat{r}_ {ui} = p_ u \cdot q_ i^T \)。 关键点与扩展 隐因子的含义 ：隐因子是模型自动学习到的，通常没有直接的物理意义，但可以解释为一些抽象的特征维度。 偏置项 ：为了更精确，模型常加入全局平均评分 \( \mu \)、用户偏置 \( b_ u \)（用户评分习惯偏离均值的程度）、物品偏置 \( b_ i \)（物品受欢迎程度偏离均值的程度）。预测评分变为：\( \hat{r}_ {ui} = \mu + b_ u + b_ i + p_ u \cdot q_ i^T \)。 交替最小二乘法（ALS） ：另一种优化方法，固定 \( Q \) 优化 \( P \)，再固定 \( P \) 优化 \( Q \)，交替进行，适用于并行化处理。 应用 ：LFM是许多现代推荐系统（如Netflix Prize比赛中）的基础，也是更复杂模型（如SVD++）的核心组件。