哈希算法题目：设计一个基于多重哈希的布隆过滤器变种 题目描述 布隆过滤器（Bloom Filter）是一种高效的概率型数据结构，用于判断一个元素是否在集合中。它可能产生假阳性（误判），但不会产生假阴性。本题要求设计一个布隆过滤器的变种，通过 多重哈希函数 和 分段存储 来优化空间利用率和误判率。具体需求如下： 支持 add(element) 和 contains(element) 操作。 使用 k 个独立的哈希函数，将元素映射到长度为 m 的位数组（bit array）的不同段（segment）中。 每个段的大小为 m/k ，哈希函数仅在自己的段内映射位置，避免哈希冲突跨段干扰。 通过调整 k 和 m 控制误判率。 解题步骤 1. 理解布隆过滤器的基本原理 初始位数组全为 0 。 添加元素时，用 k 个哈希函数计算 k 个位置，并将这些位置置 1 。 检查元素时，若所有 k 个位置均为 1 ，则认为元素可能存在（可能误判）；若有任一位置为 0 ，则元素一定不存在。 2. 分段存储的优化思路 传统布隆过滤器的 k 个哈希函数可能映射到同一段位数组，导致局部冲突加剧。 本题将位数组分为 k 个段（每段大小 s = m/k ），每个哈希函数独立负责一个段，从而均匀分布哈希结果，降低误判率。 3. 设计数据结构 位数组 bits ：长度为 m ，分为 k 个段，每段长度 s = m // k 。 哈希函数族 hash_funcs ：包含 k 个独立哈希函数（如 MurmurHash、FNV 等，通过不同种子实现）。 4. 添加元素（add操作） 对元素 e 执行每个哈希函数 h_i （ i 从 0 到 k-1 ）： 计算哈希值 hash_i = h_i(e) 。 计算段内偏移量 offset = hash_i % s （ s 为段大小）。 计算全局位置 pos = i * s + offset 。 将 bits[pos] 置 1 。 示例 （假设 m=10 , k=2 , s=5 ，元素 "apple" ）： h0("apple") % 5 = 2 → 全局位置 0*5 + 2 = 2 h1("apple") % 5 = 4 → 全局位置 1*5 + 4 = 9 置位 bits[2] 和 bits[9] 。 5. 检查元素（contains操作） 对每个哈希函数 h_i ： 计算 offset = h_i(e) % s 。 计算 pos = i * s + offset 。 若 bits[pos] == 0 ，立即返回 false 。 若所有位均为 1 ，返回 true （可能误判）。 6. 误判率分析 假设哈希函数均匀分布，插入 n 个元素后，某一位为 0 的概率为： \[ (1 - \frac{1}{m})^{kn} \approx e^{-kn/m} \] 误判率近似为： \[ \left(1 - e^{-kn/m}\right)^k \] 分段存储不会改变该公式，但通过隔离哈希函数减少冲突，实际误判率更接近理论值。 7. 代码实现要点 选择哈希函数时需确保独立性（如 h_i(e) = base_hash(e, seed_i) ）。 段大小 s 需为整数，若 m 不能被 k 整除，可向上取整或动态调整。 8. 扩展思考 如何动态扩容位数组？ 如何支持删除操作（需引入计数布隆过滤器）？ 通过这种分段策略，布隆过滤器的空间利用率和误判率性能得到优化，尤其适合海量数据去重场景。