高斯-切比雪夫求积公式在带权积分中的应用 题目描述 考虑计算带权积分 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \)，其中 \( f(x) \) 是光滑函数。高斯-切比雪夫求积公式利用切比雪夫多项式的正交性，通过选取特定节点和权重，以高精度近似此类积分。需要推导该公式的节点、权重，并分析其误差特性。 解题过程 问题分析与权函数背景 积分形式为 \( \int_ {-1}^{1} w(x) f(x) \, dx \)，权函数 \( w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) 是切比雪夫多项式的权函数。 关键思路：利用权函数对应的正交多项式（切比雪夫多项式 \( T_ n(x) \)）的根作为求积节点，使公式具有最高代数精度。 节点选取：切比雪夫多项式的根 第一类切比雪夫多项式 \( T_ n(x) = \cos(n \arccos x) \) 在 \( [ -1,1 ] \) 上关于权函数 \( w(x) \) 正交。 \( T_ n(x) \) 的根为 \( x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \)，\( k = 1, 2, \dots, n \)。这些根作为求积节点。 权重计算：利用正交性推导 权重公式为 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)（常数权重），推导如下： 对低阶多项式 \( f(x) = 1 \)，积分精确值 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \pi \)。 求积公式应满足 \( \sum_ {k=1}^n w_ k \cdot 1 = \pi \)。 由对称性和多项式精度要求，可证明所有权重相等，即 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)。 求积公式的最终形式 \( n \) 点高斯-切比雪夫公式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \frac{\pi}{n} \sum_ {k=1}^n f\left( \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \right). \] 该公式对次数不超过 \( 2n-1 \) 的多项式精确成立（代数精度为 \( 2n-1 \)）。 误差分析 误差项：若 \( f(x) \) 是 \( 2n \) 次连续可微函数，误差为 \[ E_ n = \frac{\pi}{2^{2n-1} (2n) !} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (-1,1). \] 说明：误差随 \( n \) 增大指数级衰减，尤其适合光滑函数。 示例计算 计算 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \)（精确值 \( \pi J_ 0(1) \)，\( J_ 0 \) 是贝塞尔函数）。 取 \( n=3 \)：节点 \( x_ k = \cos\left( \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} \right) \)。 近似值 \( I \approx \frac{\pi}{3} \left[ \cos(0.866) + \cos(0) + \cos(-0.866) \right ] \)。 与精确值对比显示高精度。 总结 高斯-切比雪夫公式通过节点和权重的巧妙选择，高效处理带权积分，尤其适用于振荡或边界奇异的函数。其常数权重和余弦节点分布简化了计算，是高精度数值积分的重要工具。