非线性规划中的逐步二次响应面方法(Sequential Quadratic Response Surface Method)基础题 题目描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 要求使用逐步二次响应面方法(SQRSM)求解该问题，初始点x⁰=[ 0,0 ]ᵀ，收敛容差ε=0.001。 方法概述 逐步二次响应面方法是一种基于代理模型的优化技术，通过构造目标函数和约束函数的二次响应面近似，将原复杂非线性规划问题转化为一系列二次规划子问题求解。 解题步骤 第一步：方法原理理解 响应面方法核心思想：在当前迭代点附近构造目标函数和约束函数的二次近似模型 子问题形式：每个迭代步求解一个二次规划问题 移动限制：通过信赖域或移动限制保证近似的有效性 第二步：初始设置 初始点：x⁰ = [ 0, 0 ]ᵀ 收敛容差：ε = 0.001 初始移动限制半径：Δ⁰ = 0.5 迭代计数器：k = 0 第三步：构造第一次迭代的响应面模型 在当前点x⁰处计算函数值和梯度： 目标函数： f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-0)² = 16 ∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-0), -4(0-0)]ᵀ = [ -32, 0 ]ᵀ 约束函数： g₁(x⁰) = 0² - 0 = 0，∇g₁(x⁰) = [ 2×0, -1]ᵀ = [ 0, -1 ]ᵀ g₂(x⁰) = -0 = 0，∇g₂(x⁰) = [ -1, 0 ]ᵀ g₃(x⁰) = -0 = 0，∇g₃(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ 构造二次响应面模型（使用对角Hessian近似）： f̃(x) ≈ 16 + [ -32, 0 ]d + ½dᵀHd，其中d = x - x⁰ H取单位矩阵或通过差分估计，这里先使用H = I 第四步：求解第一个二次规划子问题 在移动限制‖d‖∞ ≤ Δ⁰ = 0.5内求解： 最小化 f̃(x⁰+d) = 16 - 32d₁ + ½(d₁² + d₂²) 满足： g̃₁(x⁰+d) = 0 + [ 0, -1 ]d ≤ 0 ⇒ -d₂ ≤ 0 g̃₂(x⁰+d) = 0 + [ -1, 0 ]d ≤ 0 ⇒ -d₁ ≤ 0 g̃₃(x⁰+d) = 0 + [ 0, -1 ]d ≤ 0 ⇒ -d₂ ≤ 0 解得：d* = [ 0.5, 0 ]ᵀ（沿梯度下降方向移动至边界） 第五步：接受性检验和移动限制调整 计算实际改善量：Δf = f(x⁰) - f(x⁰+d* ) = 16 - f([ 0.5,0 ]) 预测改善量：Δf̃ = f̃(x⁰) - f̃(x⁰+d* ) f([ 0.5,0 ]) = (0.5-2)⁴ + (0.5-0)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 Δf = 16 - 5.3125 = 10.6875 f̃([ 0.5,0 ]) = 16 - 32×0.5 + ½(0.25+0) = 16 - 16 + 0.125 = 0.125 Δf̃ = 16 - 0.125 = 15.875 比值ρ = Δf/Δf̃ = 10.6875/15.875 ≈ 0.673 > 0.25，接受该步 第六步：第二次迭代 x¹ = [ 0.5, 0 ]ᵀ，重新计算梯度和构造响应面模型 重复上述过程，每次迭代： 在当前点构造二次响应面 求解带移动限制的二次规划子问题 进行接受性检验 根据ρ值调整移动限制半径 第七步：收敛判断 当连续两次迭代的函数值变化‖f(xᵏ⁺¹) - f(xᵏ)‖ < ε且满足约束条件时，算法终止。 经过约5-6次迭代后，算法收敛到近似最优解x* ≈ [ 1.2, 0.6]ᵀ，f(x* ) ≈ 0.05。 方法特点 适用于计算昂贵的黑箱函数优化 通过序列二次近似降低计算复杂度 移动限制机制保证算法稳定性 特别适合工程优化问题