其中 $ x_i $ 是埃尔米特多项式 $ H_n(x) $ 的根，$ w_i $ 为对应权重。

高斯-埃尔米特求积公式在傅里叶变换积分中的应用 题目描述 计算傅里叶变换积分 \( I(k) = \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(kx) \, dx \)，其中 \( k \) 为实数参数。该积分在信号处理和量子力学中常见，但直接解析求解复杂。要求利用高斯-埃尔米特求积公式进行数值计算，并分析节点数 \( n \) 对结果精度的影响。 解题过程 问题分析 积分区间为 \( (-\infty, \infty) \)，被积函数包含权重 \( e^{-x^2} \) 和振荡部分 \( \cos(kx) \)。 高斯-埃尔米特求积公式专用于计算形如 \( \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \) 的积分，其标准形式为： \[ \int_ {-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x) \, dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i), \] 其中 \( x_ i \) 是埃尔米特多项式 \( H_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 为对应权重。 公式匹配与变换 将原积分中的 \( f(x) \) 设为 \( \cos(kx) \)，即直接应用公式： \[ I(k) \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i \cos(k x_ i). \] 无需变量替换，因权重部分 \( e^{-x^2} \) 已与公式匹配。 节点与权重的计算 对于给定的 \( n \)，查找预先计算的 Gauss-Hermite 节点 \( x_ i \) 和权重 \( w_ i \)（常见数学库如 SciPy 提供）。 示例 ：当 \( n=3 \) 时， \( x_ 1 = -\sqrt{3/2}, \ x_ 2 = 0, \ x_ 3 = \sqrt{3/2} \); \( w_ 1 = \sqrt{\pi}/6, \ w_ 2 = 2\sqrt{\pi}/3, \ w_ 3 = \sqrt{\pi}/6 \)。 实际计算中需使用高精度节点表或数值库。 数值计算步骤 选择节点数 \( n \)，例如从 \( n=5 \) 开始。 对每个节点 \( x_ i \)，计算 \( f(x_ i) = \cos(k x_ i) \)。 加权求和：\( I(k) \approx \sum w_ i \cos(k x_ i) \)。 验证 ：解析解为 \( I(k) = \sqrt{\pi} e^{-k^2/4} \)，可对比误差。 参数 \( k \) 的影响分析 当 \( k \) 较小时（如 \( k=1 \)），\( \cos(kx) \) 振荡缓慢，少量节点即可精确逼近。 当 \( k \) 增大（如 \( k=10 \)），\( \cos(kx) \) 高频振荡，需更多节点捕捉细节。 误差主要来自振荡部分未被充分采样，需增加 \( n \) 直至结果收敛。 收敛性测试 逐步增加 \( n \)（如 5, 10, 20, ...），观察积分值变化。 当连续两次结果的相对误差小于阈值（如 \( 10^{-8} \)）时停止。 关键点总结 高斯-埃尔米特公式直接适用于含 \( e^{-x^2} \) 的无穷区间积分。 振荡函数需更多节点以保证精度，节点数 \( n \) 与参数 \( k \) 正相关。 实际应用时可利用标准数值库避免手动计算节点权重。