高斯-勒让德求积公式在带权函数积分中的变量替换技巧
题目描述
考虑带权函数的积分问题：
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \]
其中权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 在区间端点 \(x = \pm 1\) 处奇异。若直接应用标准高斯-勒让德求积公式（权函数为常数1），需处理奇异性的误差放大问题。要求通过变量替换技巧，将原积分转化为标准高斯-勒让德求积公式适用的形式，并分析变换后积分的计算步骤与误差特性。
解题过程
-
问题分析
- 原积分的权函数 \(w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 对应第一类切比雪夫权函数，理论上可直接用高斯-切比雪夫求积公式。但题目要求使用高斯-勒让德公式，需通过变量替换消除权函数。
- 核心思路：引入代换 \(x = \cos\theta\)，利用三角恒等式将奇异权函数转化为常数权函数。
-
变量替换实施
- 令 \(x = \cos\theta\)，则 \(dx = -\sin\theta \, d\theta\)，积分区间变为 \(\theta \in [0, \pi]\)。
- 代入原积分：
\[ I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\theta}} \cdot (-\sin\theta) \, d\theta \]
- 简化被积函数：
- \(\sqrt{1-\cos^2\theta} = \sin\theta\)（在 \(\theta \in [0, \pi]\) 内 \(\sin\theta \geq 0\)），
- 因此 \(\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\theta}} \cdot (-\sin\theta) = -1\)。
- 调整积分上下限（\(\theta: 0 \to \pi\) 对应 \(x: 1 \to -1\)），需添加负号反转区间：
\[ I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \, d\theta \]
- 应用高斯-勒让德公式
- 新积分 \(I = \int_{0}^{\pi} f(\cos\theta) \, d\theta\) 的权函数为常数1，但区间为 \([0, \pi]\)，而标准高斯-勒让德公式定义在 \([-1, 1]\)。
- 作线性变换：令 \(\theta = \frac{\pi}{2}(t + 1)\)，则 \(d\theta = \frac{\pi}{2} dt\)，积分变为：
\[ I = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^{1} f\left( \cos\left( \frac{\pi}{2}(t+1) \right) \right) dt \]
- 此时可直接应用 \(n\) 点高斯-勒让德公式：
\[ I \approx \frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i f\left( \cos\left( \frac{\pi}{2}(t_i + 1) \right) \right) \]
其中 $ t_i $ 和 $ w_i $ 为区间 $[-1,1]$ 上的勒让德节点和权重。
- 误差分析
- 高斯-勒让德公式对多项式具有最高代数精度。若 \(f(\cos\theta)\) 在 \(\theta \in [0, \pi]\) 上可近似为多项式，则误差由余项公式控制：
\[ E_n \propto \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \]
- 变量替换后，需注意 \(f(\cos(\frac{\pi}{2}(t+1)))\) 的光滑性：若原函数 \(f(x)\) 光滑，则复合函数仍光滑，收敛速度由 \(f\) 的解析性决定。
- 示例验证
- 设 \(f(x) = x^2\)，则精确解为：
\[ I = \int_{-1}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{2} \]
- 变换后积分：
\[ I = \int_{0}^{\pi} \cos^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{2} \]
- 取 \(n=2\) 的高斯-勒让德公式（节点 \(t_i = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)，权重 \(w_i=1\)）：
\[ I \approx \frac{\pi}{2} \left[ \cos^2\left( \frac{\pi}{2}(-\frac{1}{\sqrt{3}}+1) \right) + \cos^2\left( \frac{\pi}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}+1) \right) \right] \approx 1.5708 \]
与精确值 $ \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 $ 一致（因被积函数为二次多项式，$ n=2 $ 时无误差）。
总结
通过变量替换 \(x = \cos\theta\) 和区间线性变换，将带奇异权函数的积分转化为标准形式，使高斯-勒让德公式可直接应用。此方法适用于权函数为 \(1/\sqrt{1-x^2}\) 的积分，且能避免端点奇异性带来的数值困难。