分块矩阵的LDLᵀ分解算法 题目描述 考虑对称分块矩阵A，其分块结构如下： A = [ A₁₁ A₁₂; A₂₁ A₂₂ ] 其中A₁₁是p×p子矩阵，A₂₂是q×q子矩阵，A₁₂是p×q子矩阵，A₂₁ = A₁₂ᵀ。我们需要通过LDLᵀ分解将A分解为LDLᵀ形式，其中L是单位下三角分块矩阵，D是对角分块矩阵。 解题过程 第一步：理解分块LDLᵀ分解的基本形式 对于对称分块矩阵A，其LDLᵀ分解可表示为： A = LDLᵀ = [ I 0; L₂₁ I] [ D₁₁ 0; 0 D₂₂] [ I L₂₁ᵀ; 0 I ] 其中I是单位矩阵，L₂₁是q×p矩阵，D₁₁和D₂₂是对角分块矩阵。 第二步：展开分解表达式 将分解式展开： A = [ I 0; L₂₁ I] [ D₁₁ 0; 0 D₂₂] [ I L₂₁ᵀ; 0 I ] = [ D₁₁ 0; L₂₁D₁₁ D₂₂] [ I L₂₁ᵀ; 0 I ] = [ D₁₁ D₁₁L₂₁ᵀ; L₂₁D₁₁ L₂₁D₁₁L₂₁ᵀ + D₂₂ ] 第三步：与原矩阵对比建立等式 对比原矩阵A = [ A₁₁ A₁₂; A₂₁ A₂₂ ]，得到以下等式： A₁₁ = D₁₁ A₁₂ = D₁₁L₂₁ᵀ ⇒ L₂₁ᵀ = D₁₁⁻¹A₁₂ A₂₁ = L₂₁D₁₁ A₂₂ = L₂₁D₁₁L₂₁ᵀ + D₂₂ 第四步：求解分解参数 根据等式关系，按顺序求解： D₁₁ = A₁₁（直接得到） 由A₁₂ = D₁₁L₂₁ᵀ ⇒ L₂₁ᵀ = D₁₁⁻¹A₁₂ 取转置得：L₂₁ = A₁₂ᵀ(D₁₁⁻¹)ᵀ = A₂₁D₁₁⁻¹（因为D₁₁对称） 由A₂₂ = L₂₁D₁₁L₂₁ᵀ + D₂₂ ⇒ D₂₂ = A₂₂ - L₂₁D₁₁L₂₁ᵀ 第五步：算法步骤总结 计算D₁₁ = A₁₁ 计算L₂₁ = A₂₁D₁₁⁻¹（需要求解线性方程组） 计算Schur补：S = A₂₂ - L₂₁D₁₁L₂₁ᵀ 令D₂₂ = S 第六步：递归扩展 对于更高维度的分块矩阵，可以对D₂₂子矩阵递归应用相同的分块LDLᵀ分解过程，直到所有对角块都为标量或小矩阵。 第七步：数值稳定性考虑 当A正定时，该分解数值稳定 对于不定矩阵，可能需要选主元 实际计算中应避免显式求逆，而是通过求解线性方程组D₁₁X = A₂₁来得到L₂₁ 第八步：计算复杂度分析 主要计算量集中在Schur补的计算：L₂₁D₁₁L₂₁ᵀ 如果A₁₁是m×m，A₂₂是n×n，复杂度为O(m²n + mn²) 相比稠密矩阵的O(n³)复杂度，分块结构可提高计算效率