高斯-勒让德求积公式在有限元刚度矩阵计算中的应用 题目描述 在有限元方法中，计算刚度矩阵的元素需要求解形如 \( K_ {ij} = \int_ {-1}^{1} \phi_ i'(x) \phi_ j'(x) \, dx \) 的积分（以一维问题为例），其中 \(\phi_ i(x)\) 是局部基函数。由于被积函数通常是多项式，但手工计算繁琐，需采用数值积分。高斯-勒让德求积公式能通过少量节点高精度计算此类积分。本题要求： 解释为何高斯-勒让德公式适用于有限元积分； 以线性基函数为例，展示具体计算过程； 分析节点数选择对精度的影响。 解题过程 1. 高斯-勒让德公式的适用性分析 有限元中的局部刚度矩阵积分通常在标准区间 \([ -1, 1 ]\) 上进行（通过坐标变换实现）。 若基函数为 \(n\) 次多项式，则被积函数 \(\phi_ i'(x) \phi_ j'(x)\) 是 \(2(n-1)\) 次多项式。 高斯-勒让德公式的 \(m\) 个节点可精确积分 \(2m-1\) 次多项式。因此，选择 \(m \geq n\) 即可保证精确积分（忽略舍入误差）。 优势：较少的节点数可实现高精度，避免复合公式的计算冗余。 2. 线性基函数的刚度矩阵计算示例 步骤1：定义基函数 在标准区间 \([ -1, 1 ]\) 上，线性拉格朗日基函数为： \[ \phi_ 1(x) = \frac{1 - x}{2}, \quad \phi_ 2(x) = \frac{1 + x}{2}. \] 其导数为常数： \[ \phi_ 1'(x) = -\frac{1}{2}, \quad \phi_ 2'(x) = \frac{1}{2}. \] 步骤2：构造被积函数 刚度矩阵元素为： \[ K_ {11} = \int_ {-1}^{1} \left(-\frac{1}{2}\right)^2 dx = \frac{1}{4} \int_ {-1}^{1} 1 \, dx, \quad K_ {12} = \int_ {-1}^{1} \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) dx = -\frac{1}{4} \int_ {-1}^{1} 1 \, dx. \] 被积函数均为常数（0次多项式），理论上可用1个高斯节点精确积分。 步骤3：应用1点高斯-勒让德公式 1点公式的节点 \(x_ 1 = 0\)，权重 \(w_ 1 = 2\)。 计算 \(K_ {11}\)： \[ K_ {11} \approx \frac{1}{4} \cdot w_ 1 \cdot 1 = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot 1 = 0.5. \] 精确解为 \(\frac{1}{4} \cdot (1 - (-1)) = 0.5\)，结果一致。 3. 节点数选择对精度的影响 线性元（1次基函数） ：被积函数次数 ≤ 0，1个节点足矣。 二次元 ：基函数为二次多项式，导数一次，被积函数次数 ≤ 2。需 \(m \geq 2\) 个节点（因 \(2m-1 \geq 2 \Rightarrow m \geq 1.5\)，取整为 \(m=2\)）。 一般规则 ：若基函数次数为 \(p\)，选择 \(m = p\) 个节点可精确积分（导数次数 \(p-1\)，乘积次数 \(2p-2\)，需 \(m \geq p\)）。 注意 ：实际编程中常统一采用 \(m = p+1\) 以应对可能的高次项（如非均匀网格变换带来的雅可比项）。 总结 高斯-勒让德公式通过最优节点位置和权重，以最小计算量实现有限元积分的高精度，尤其适合局部多项式积分。节点数需根据基函数次数选择，通常取 \(m = p\) 或 \(m = p+1\) 即可平衡效率与精度。